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 CIFRE SIGNIFICATIVE 

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CIFRE SIGNIFICATIVE

Affrontiamo questo argomento prima di parlare degli strumenti di misura perché risulta importante per comprendere quanto diremo in seguito. Quando infatti in un esperimento misuriamo delle grandezze, il risultato è noto solo con una certa approssimazione. Per questo è importante  tenere sempre presente che la misura di grandezze porta sempre con sé una certa IMPRECISIONE. La stessa imprecisione influenza anche i calcoli effettuati utilizzando tali valori.

 CIFRE SIGNIFICATIVE : definizione

Siccome le misure delle grandezze fisiche non forniscono valori esatti, dovremo spesso fare i nostri calcoli con valori approssimati. Per questo, quando consideriamo un numero che rappresenta un dato fisico, dobbiamo cercare di stabilire qual è la precisione con cui quel numero è riportato. Per questo motivo di introduce il concetto di CIFRA SIGNIFICATIVA:

Le cifre significative del risultato di una misura sono le cifre note con certezza più la prima cifra incerta.

Per identificare con certezza le cifre significative di un numero sono state stabilite alcune CONVENZIONI:

  • Tutte le cifre NON NULLE di un numero sono significative. In particolare, scorrendo le cifre che compongono il numero da sinistra verso destra, la prima cifra DIVERSA DA ZERO che incontriamo è la PRIMA cifra significativa
  • Gli ZERI compresi tra cifre significative sono SIGNIFICATIVI
  • In un numero con la virgola, gli ZERI TERMINALI sono SIGNIFICATIVI. Anche se da un punto di vista matematico potremmo omettere tali zeri, la loro presenza ci dà informazioni sulla precisione del numero.
  • In un numero SENZA VIRGOLA, gli zeri terminali NON sono significativi
  • Quando l’ERRORE sul numero è ESPLICITAMENTE indicato, l’ultima cifra significativa è la prima cifra affetta da errore.

In generale, il valore numerico di una misura sperimentale deve contenere tante cifre significative quante sono quelle determinabili con sicurezza mediante lo strumento di misura utilizzato, più un’altra cifra, anch’essa significativa, che lo strumento permette di valutare con approssimazione. Sono quindi significative tutte le cifre che si possono effettivamente leggere sullo strumento.

RICORDA:

Gli zeri aggiunti alla destra di un numero non sono significativi quando servono soltanto a definire il suo ordine di grandezza. Non sono significativi neppure gli zeri che si trovano a sinistra di un numero quando essi servono solo a localizzare la virgola

ATTENZIONE:

Il numero di cifre significative con cui si esprime la misura di una grandezza deve restare lo stesso anche se si cambia l’unità di misura.

Per esempio, se su una bilancia leggiamo che un’arancia pesa 150 g, tale valore presenta 3 cifre significative: infatti lo zero terminale è la prima cifra incerta. Se vogliamo esprimere tale misura in ettogrammi, dobbiamo riportarla come 1,50 hg; chi legge sa, così, che l’incertezza di misura è relativa ai grammi. Se, invece, scrivessimo il risultato come 1,5 hg daremmo  l’informazione, errata, che l’incertezza di misura è relativa ai decagrammi.

indicano queste regole

CIFRE SIGNIFICATIVE : esempi

Vediamo con alcuni esempi che cosa ESEMPIO 1

Nel numero 40,030 abbiamo 5 cifre significative: il 4 è la prima cifra significativa. Gli zeri compresi tra il 4 e il 3 sono significativi come pure lo zero terminale

ESEMPIO 2

Il numero 0,0030 L ha 2 cifre significative : gli zeri che precedono il 3 NON sono significativi mentre lo zero che segue il 3 è significativo

ESEMPIO 3

Il numero 0, 0320 ha invece tre cifre significative: 32 e lo zero terminale

ESEMPIO 4

Il numero 730 ha solo DUE cifre significative: lo zero terminale NON è significativo perché ci fornisce solo un’indicazione dell’ordine di grandezza

ESEMPIO 5

0,1044  ha 4 cifre significative : lo zero iniziale non è significativo (serve solo a posizionare la virgola) mentre lo zero compreso tra 1 e 4 è significativo

ESEMPIO 6

53 069 ha 5 cifre significative

0,00004715 m = 4,715 × 10−5 m ha 4 cifre significative : gli zeri che precedono 4715 non sono infatti significativi perché servono solo a posizionare la virgola

ESEMPIO 7

Il numero 430 ± 2 ha tre cifre significative: infatti l’errore indicato è sull’unità e lo zero terminale è la prima cifra incerta

Anche il numero 430 ± 20 ha tre cifre significative, infatti questa volta l’errore indicato è sulle decine e il 3 è la prima cifra incerta. Di conseguenza è anche l’ultima cifra significativa

Cifre significative e notazione scientifica

Come avrete capito da alcuni degli esempi precedenti, siccome le cifre significative danno indicazioni sull’incertezza di una misura, per riportare quest’incertezza senza ambiguità è necessario esprimere le misure in notazione scientifica. Se per esempio volessimo esprimere la massa dell’arancia di uno degli esempi precedenti in centigrammi, sarebbe sbagliato scrivere 15 000 cg. La bilancia, infatti, ha fornito soltanto tre cifre significative, pertanto gli ultimi due zeri del numero 15 000 non sono significativi. L’espressione corretta della misura risulta, quindi

150 g = 1,50 ∙ 104 cg

In altre parole: siccome il numero di cifre significative di una data grandezza può essere ambiguo a causa della presenza di zeri all’inizio o alla fine del numero, per superare questo tipo di ambiguità possiamo scrivere la grandezza in notazione scientifica, cioè come un numero dell’ordine dell’unità moltiplicato per un’opportuna potenza di 10

Per esempio, se una data distanza è 2500 m, i due zeri possono essere cifre significative oppure possono essere semplicemente zeri che indicano la posizione delle cifre decimali. Se i due zeri sono cifre significative, l’incertezza nella misura della distanza è di 1 m; se non sono cifre significative l’incertezza è invece di 100 m. Con la notazione scientifica, scriveremo 2,5 • 103 m se ci sono solo due cifre significative, 2,500 • 103  m per indicare invece quattro cifre significative.

Analogamente, un tempo dato come 0,000036 s ha solo due cifre significative in quanto gli zeri a sinistra della prima cifra diversa da zero non sono significativi. Se questa quantità fosse conosciuta con tre cifre significative, potremmo scrivere 3,60 • 10-5 s per eliminare qualsiasi ambiguità.

Così come non sono significativi gli zeri aggiunti alla destra di un numero se servono soltanto a definire il suo ordine di grandezza, non sono significativi neppure gli zeri che si trovano alla sinistra di un numero se essi servono solo a indicare la posizione della  virgola. Per esempio, il numero 0,0253 possiede tre cifre significative e può essere espresso in notazione scientifica come

2,53  ∙ 10 – 2.

In altre parole, esprimendo genericamente la notazione scientifica di un numero come A ∙10n, il fattore A deve contenere tutte le cifre significative e nessuna ulteriore cifra.

La notazione scientifica permette di scrivere equivalenze senza alterare le cifre significative, lasciando invariato il fattore A e modificando solo la potenza di dieci, in conseguenza della variazione dell’unità di misura. In questo modo, si evita di perdere l’informazione relativa alla cifra incerta.

Cifre significative e operazioni

In generale, per stabilire il numero di cifre significative che otteniamo quando moltiplichiamo o dividiamo delle grandezze, possiamo applicare la seguente regola:

Il numero di cifre significative di una grandezza ottenuta come risultato della moltiplicazione o divisione di grandezze è uguale al numero di cifre significative della grandezza conosciuta con minor precisione.

Quando vengono addizionate o sottratte delle grandezze fisiche, invece, utilizziamo regole differenti rispetto a quelle per il prodotto o per il quoziente. In questo caso la regola tiene conto del numero di decimali presenti in ciascuno dei termini:

II numero di decimali di una grandezza ottenuta come somma o differenza di grandezze è uguale al minor numero di decimali presenti in ogni addendo

Supponiamo di misurare un tempo di 16,74 s e successivamente uno di 5,1 s e di voler calcolare il tempo totale. Addizionando i due numeri otteniamo 16,74 + 5,1 = 21,84 s. Secondo la regola, però, il tempo totale relativo alle due misure deve avere una sola cifra decimale (come il secondo addendo) e quindi, arrotondando la prima cifra decimale si ottiene 21,8 s.

Anche nel caso di calcoli tra grandezze, la notazione scientifica  si rivela molto utile. Ad esempio, poiché in notazione scientifica la massa dell’atomo di idrogeno è MH = 1,67 • 10-27 kg e la massa della Terra è MT= 5,97 • 1024 kg, se vogliamo calcolare il prodotto delle due grandezze possiamo scrivere:

MH MT= 5,97 • 1024 •  1,67 • 10-27 = 9,99 • 10-3 kg2

Analogamente, se vogliamo calcolare il rapporto fra le due grandezze scriviamo:

CIFRE SIGNIFICATIVE NEI CALCOLI E ARROTONDAMENTO DEL RISULTATO

Quando eseguiamo un calcolo, può accadere che il risultato abbia un numero di cifre eccessivo: in questi casi è necessario procedere all’arrotondamento del risultato.

Arrotondare un numero significa sostituirlo con un altro con meno cifre significative. Per effettuare un arrotondamento corretto bisogna applicare le seguenti regole:

  • Se la prima cifra che deve essere eliminata è cinque o un numero maggiore di cinque, si aumenta di uno l’ultima cifra conservata (arrotondamento per eccesso). Per esempio, il numero 3,753 arrotondato a due cifre significative è 3,8, poiché la prima cifra da eliminare è 5.
  • Se la prima cifra che deve essere eliminata è un numero minore di cinque, l’ultima cifra conservata non varia (arrotondamento per difetto). Per esempio,. il numero 3,743 arrotondato a due cifre significative è 3,7, poiché la prima cifra da eliminare è 4.

Come abbiamo già detto, per stabilire quante cifre significative devono esserci nel risultato di un calcolo eseguito con i valori di misure sperimentali è necessario ricordare le regole seguenti.

  • ADDIZIONI E SOTTRAZIONI DI DUE GRANDEZZE: Il risultato di addizioni e sottrazioni deve avere lo stesso numero di cifre decimali presenti nel termine che ne ha meno.
  • MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI DUE GRANDEZZE : Il risultato di moltiplicazioni e divisioni deve avere lo stesso numero di cifre significative presenti nel termine che ne ha meno.
  • MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI UNA GRANDEZZA E DI UN NUMERO: il risultato della moltiplicazione o divisione di una grandezza per un numero deve avere lo stesso numero di cifre significative della grandezza

Vediamo insieme alcuni esempi

1)Nell’addizione dei seguenti valori sperimentali:

Scriviamo il risultato come 10,12, cioè con due cifre decimali; il primo termine (3,25) ha, infatti, il minor numero di cifre decimali. L’arrotondamento comporta l’eliminazione di due cifre, il 4 e il 7; poiché la prima cifra da eliminare, il 4, è minore di 5, non varia il valore dell’ultima cifra conservata, il 2.

2) Nella sottrazione dei seguenti valori sperimentali:

In questo caso, dobbiamo scrivere il risultato con una sola cifra decimale. Infatti il secondo termine ha una sola cifra decimale; il numero va quindi arrotondato. Poiché la prima cifra da eliminare, il 7, è maggiore di 5, si aumenta di uno l’ultima cifra conservata (l’8) e si esprime il risultato come 1,9

3) Nella moltiplicazione dei seguenti valori sperimentali:

Dobbiamo scrivere il risultato come 7,9, cioè con due cifre significative poiché il primo termine (2,3) ha solo due cifre significative. Siccome la prima cifra da eliminare è 6 (maggiore di 5) si aumenta di uno l’ultima cifra conservata (l’8) e si esprime il risultato come 7,9.

4) Nella divisione dei seguenti valori sperimentali:

Dobbiamo scrivere il risultato 0,392 364 7 come 0,392, cioè con tre cifre significative, in quanto il primo termine (18,5) ha tre cifre significative. Siccome la prima cifra da eliminare, il 3, è minore di 5, non varia il valore dell’ultima cifra conservata, il 2.

Errore di arrotondamento e problemi

Negli esercizi e nei problemi che svolgete può succedere che, pur effettuando tutti i calcoli con lo stesso numero di cifre significative date dal testo, si ottenga in qualche caso un risultato che differisce nella sua ultima cifra da quella fornita  come risultato.

Di solito questo non è dovuto a passaggi sbagliati ma è semplicemente causato da un errore di arrotondamento.

Gli errori di arrotondamento si verificano quando i risultati numerici sono arrotondati in momenti diversi nel corso del calcolo.

Per vedere che cosa succede, consideriamo un semplice esempio.

Supponiamo di voler acquistare degli adesivi da mettere sullo zaino. Ne compriamo uno in un negozio al prezzo di € 2,21, più l’8% di IVA; il costo totale è € 2,3868 o, arrotondando al centesimo, € 2,39. Più tardi ne compriamo un altro per € 1,35 che, con le tasse, diventa € 1,458 e, arrotondando al centesimo, € 1,46. La spesa totale per i due adesivi è € 2,39 + € 1,46 = € 3,85.

Ora effettuiamo l’operazione di arrotondamento in un altro modo.

Supponiamo di aver comprato gli adesivi nello stesso negozio per un prezzo totale di € 2,21 + € 1,35 = € 3,56. Aggiungendo l’8% di IVA otteniamo € 3,8448 che, arrotondato al centesimo, dà € 3,84 cioè un centesimo in meno rispetto al calcolo precedente.

Lo stesso tipo di errore si può presentare nei problemi di fisica.

In generale un buon suggerimento per ridurre questo errore è di mantenere se possibile almeno una cifra decimale in più quando si effettuano i calcoli intermedi, arrotondando soltanto il risultato finale

bibliografia

 

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