Proseguiamo il ripasso della geometria analitica, occupandoci velocemente della parabola. Torneremo poi sull’argomento, con tanti esercizi svolti.
EQUAZIONE DELLA PARABOLA : definizione
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice è l’asse di simmetria della parabola. Tale asse interseca la parabola in un punto V, detto vertice.
Possiamo distinguere parabole ad asse verticale e ad asse orizzontale, che hanno diversa espressione analitica
EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE VERTICALE
Fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy, l’equazione generale di una parabola con asse parallelo all’asse y (e con la direttrice parallela all’asse x) è:
y = ax² + bx +c con a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
NOTA : Se a = 0 l’equazione diventa y = bx + c, che è l’equazione di una retta.
Utilizzando i parametri a, b, c, possiamo ricavare le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni relative ad asse di simmetria e direttrice della parabola.
Posto Δ = b² – 4ac , abbiamo :
Notiamo che l’ascissa del vertice e l’ascissa del fuoco sono uguali; infatti entrambi appartengono all’asse di simmetria della parabola, che è la retta, parallela all’asse y, avente equazione
x = –b/2a
Notiamo inoltre che il vertice si trova alla stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice.
SIGNIFICATO GEOMETRICO DEI PARAMETRI a, b, c
Riscriviamo l’equazione della parabola con asse verticale
y = ax² + bx +c
e vediamo quale sia il significato dei tre parametri che compaiono in tale equazione di secondo grado:
⇨ PARAMETRO a
Il valore del parametro a determina la concavità della curva.
- Se a > 0, la concavità è rivolta verso l’alto
- Nel caso in cui a < 0, la concavità è rivolta verso il basso.
Il valore assoluto di a determina l’apertura della parabola.
⇨ PARAMETRO b
Il valore di b, insieme a quello di a, determina la posizione dell’asse di simmetria, e di conseguenza quello dell’ascissa del vertice e del fuoco.
⇨ PARAMETRO c
Il valore di c ci fornisce l’ordinata del punto di intersezione fra la parabola e l’asse y.
EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE ORIZZONTALE
L’equazione generale della parabola con asse parallelo all’asse x è:
x = ay² + by + c con a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.
Posto Δ = b² – 4ac, le coordinate del vertice e del fuoco, e le equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice sono “scambiate” rispetto al caso precedente, della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate:
Come abbiamo notato, le coordinate sono scambiate, pertanto il fuoco e il vertice hanno la stessa ordinata, uguale al valore che assume l’asse di simmetria.
I parametri hanno gli stessi significati visti nel caso precedente. In particolare:
- se a > 0, la parabola rivolge la concavità verso sinistra
- se a < 0 la concavità è verso destra.
Invece il parametro c determina l’ordinata del punto di intersezione fra la parabola e l’asse delle ascisse.
Nel prossimo articolo ci occuperemo della forma che assume l’equazione della parabola in alcuni casi particolari