FASCI DI RETTE PROPRI E IMPROPRI

FASCI DI RETTE PROPRI E IMPROPRI

Oggi ho tutta l’intenzione di “esaurire” l’argomento “RETTA E PIANO CARTESIANO”, per passare finalmente ad altro! Purtroppo la preparazione degli esercizi svolti mi porta via parecchio tempo e le lezioni con i miei ragazzi occupano gran parte della mia giornata… ma spero di tornare presto a dedicare più tempo al blog.

Chissà che per il mio compleanno non mi portino in regalo due braccia nuove! Ma torniamo all’argomento della nostra lezione.

FASCI DI RETTE PROPRI E IMPROPRI : definizioni

Dalla Geometria sappiamo che un FASCIO IMPROPRIO DI RETTE è formato da tutte le rette parallele ad una data retta r.

Ricordiamo inoltre che, per un punto, passa una ed una sola retta parallela ad una retta data.

Inoltre sappiamo che

Una retta che interseca una retta del fascio le interseca tutte. Essa è detta TRASVERSALE DEL FASCIO.

Quando le trasversali sono più di una, i punti in cui ogni retta del fascio interseca le trasversali sono detti corrispondenti. I segmenti corrispondenti sono quelli che hanno per estremi punti corrispondenti.

Si chiama invece FASCIO PROPRIO DI RETTE l’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso punto P del piano. Il punto P comune a tutte le rette si chiama CENTRO DEL FASCIO DI RETTE.

Tornerò a parlarvi di rette prossimamente, quando inizieremo tutto il discorso sulla Geometria. Intanto vediamo come si scrivono le equazioni di un fascio di rette.

FASCI DI RETTE PROPRI E IMPROPRI: i fasci impropri

Consideriamo una retta r del piano: l’insieme formato da r e da tutte le rette ad essa parallele si chiama FASCIO IMPROPRIO DI RETTE PARALLELE a r .

Tutte le rette del fascio hanno lo STESSO coefficiente angolare della retta r e differiscono solo per il valore dell’ordinata all’origine, che nella generica equazione abbiamo indicato con q.

Per esempio, l’equazione

y =2x +q

rappresenta, al variare di q, tutte le rette del piano che hanno coefficiente angolare 2, cioè è l’equazione di un fascio improprio di rette.

Se q =0, abbiamo la retta del fascio passante per l’origine:

y = 2x.

Per disegnare altre rette del fascio basta attribuire dei valori a q e sostituirli, di volta in volta, nell’equazione del fascio. Ad esempio, per q = 3 abbiamo la retta

 y = 2x +3

per q = – 4 otteniamo invece la retta

y = 2x – 4

ecc.

FASCI DI RETTE PROPRI E IMPROPRI: il fascio proprio

Come detto poco prima, l’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P si chiama fascio proprio di rette per P.

Il punto P comune a tutte le rette del fascio si chiama CENTRO DEL FASCIO.

In generale, dato un punto P di coordinate (x₁; y₁), il fascio di rette di centro P ha equazione:

y-y₁ = m(x – x₁).

Al variare di m si ottengono tutte le rette del fascio passanti per P, tranne la parallela all’asse y, che ha equazione x = x ₁.

Pertanto, il fascio completo è descritto dalle equazioni:

y-y₁ = m(x – x₁) , m∈ℝ ∪ x = x₁

Ad esempio, proviamo a determinare l’equazione del fascio di rette di centro P (4; 3).

Se una retta generica y = mx +q deve passare per P, occorre che le coordinate di P soddisfino l’equazione, ossia:

3= m ∘ 4+q.

Ricaviamo così il valore dell’ordinata all’origine q:

q = 3-m ∘  4.

Sostituendo tale espressione a q nell’equazione generica, otteniamo:

y = mx + 3 – 4m

Così facendo, abbiamo ottenuto l’equazione in forma esplicita di una generica retta del fascio.

Riscriviamo però tale equazione, raccogliendo m tra i due termini che lo contengono ed evidenziando le coordinate (4; 3) del centro del fascio :

y – 3= m(x -4)

Abbiamo trovato l’equazione del fascio di rette di centro P(4; 3). Per ogni valore reale che attribuiamo a m otteniamo una retta del fascio:

• Se ad esempio m = 1 abbiamo la retta y = 3+x – 4, cioè y=x – 1;
• Con m = – 2 la retta y =3 – 2x + 8, cioè y = – 2x +11;
• Per m = 0 la parallela all’asse x, y = 3 e così via.

L’equazione della parallela all’asse y è x = 4, ma non esiste alcun valore di m che, sostituito nell’equazione del fascio, fornisca tale equazione.

Pertanto, per avere tutte le rette del fascio proprio per P, dobbiamo aggiungere all’equazione del fascio l’equazione della parallela all’asse y per P:

y = 3 +  m(x -4)  (rette non parallele all’asse y) ⋃ x = 4 (retta parallela all’asse y).

Ed ora non ci resta che parlare della distanza di un punto da una retta e dedicarci agli esercizi! Per il fine settimana cambieremo argomento!

FASCI DI RETTE PROPRI E IMPROPRI: per approfondire

• IL RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE
• INSIEMI DI PUNTI E PIANO CARTESIANO
• ⇨ COORDINATE DI UN PUNTO SU UN PIANO
• ⇨  DISTANZA TRA DUE PUNTI
• ⇨ PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
• ⇨ EQUAZIONE RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE
•  coefficiente angolare della retta
• ⇨ Equazione generale della retta
• ⇨  EQUAZIONE RETTA PER DUE PUNTI :
• ⇨   RETTE PARALLELE  e PERPENDICOLARI :
• ⇒ FASCI DI RETTE
• ⇒ DISTANZA RETTA – PUNTO