Nei prossimi giorni ci occuperemo dei vari metodi di scomposizione dei polinomi. Cominciamo con quello più semplice.
RICORDA: scomporre un polinomio significa scriverlo come PRODOTTO DI POLINOMI DI GRADO MINORE O UGUALE a quello del polinomio dato
IL RACCOGLIMENTO TOTALE
Il raccoglimento totale è un metodo di scomposizione basato sulla proprietà distributiva della moltiplicazione:
A ∙ B + A ∙ C = A ∙ (B + C).
Applicando questa proprietà, per effettuare il raccoglimento totale procediamo in senso inverso rispetto a quando moltiplichiamo un monomio per un polinomio o a quando moltiplichiamo due polinomi: se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore comune, lo possiamo raccogliere.
In altre parole: quando moltiplichiamo un monomio per un polinomio, applichiamo la proprietà distributiva e moltiplichiamo il monomio per ciascun termine del polinomio.
Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in comune, possiamo scomporre il polinomio applicando la proprietà distributiva «al contrario».
In pratica, per eseguire un raccoglimento totale, calcoliamo il M.C.D. tra i termini del polinomio.
Vediamo ora come procedere con alcuni esempi
IL RACCOGLIMENTO TOTALE : esempi
ESEMPIO 1
Dato il polinomio
24a3 – 48a
Il M.C.D. tra 24a3 e 48a è 24a. Possiamo quindi dividere tutti i termini del binomio dato per il M.C.D. e otteniamo:
24a (a2 – 2)
Diciamo che il fattore 24a è stato “MESSO IN EVIDENZA” o “RACCOLTO”.
ESEMPIO 2
Vogliamo scomporre il polinomio
20x5 +35x4 – 5x3
Calcoliamo il M.C.D. tra i monomi 20x5 , 35x4 e 5x3
M.C.D.(20x5 , 35x4 , 5x3) = 5x3
Dividiamo tutti i termini per il M.C.D. e otteniamo
20x5 +35x4 – 5x3 = 5x3 (4x2+7x-1)
Abbiamo quindi messo in evidenza il fattore 5x3
ESEMPIO 3
È possibile raccogliere non solo monomi ma anche polinomi. Scomponiamo il polinomio
2x(x+ 1) − 3(x+ 1)
Notiamo che i due termini presentano come fattore comune il BINOMIO (x+1). Provvediamo quindi a raccoglierlo, dividendo entrambi i termini per tale binomio. Otteniamo così:
2x (x+ 1) − 3 (x+ 1) = (x+ 1) (2x-3)
nel pdf allegato troverete molti esercizi risolti e molti altri per “allenarvi”.
raccoglimento totale
SCOMPOSIZIONE : PER SAPERNE DI PIU’
LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI
metodi
- RACCOGLIMENTO PARZIALE
- RACCOGLIMENTO TOTALE
- Riconoscimento di prodotti notevoli
- SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO (trinomio speciale o trinomio caratteristico)
- MEDIANTE TEOREMA E REGOLA DI RUFFINI