Ricorderete forse che in ogni triangolo esistono tre altezze diverse, una per ciascun lato. Vediamo che cosa comporta questo nel caso del triangolo rettangolo.
PROIEZIONI DEI CATETI SULL’IPOTENUSA: che cos’è l’altezza di un triangolo
Prima di affrontare l’argomento principale, però, ricordiamo che in un triangolo qualsiasi, l’altezza è il segmento tracciato perpendicolarmente al vertice rispetto al lato opposto.
ALTEZZA di un triangolo rispetto ad un suo lato è la DISTANZA di questo LATO dal VERTICE OPPOSTO
Per completezza, vi ricordo che il punto in cui si incontrano le tre altezze si chiama ORTOCENTRO.
PROIEZIONI DEI CATETI SULL’IPOTENUSA. L’altezza relativa all’ipotenusa
Chiarito quanto sopra, disegniamo ora un triangolo rettangolo appoggiandolo sull’ipotenusa AB:
Tracciamo quindi l’altezza relativa all’ipotenusa e indichiamola con CH:
L’altezza relativa all’ipotenusa, divide l’ipotenusa stessa in due segmenti, AH e HB, che si chiamano PROIEZIONI DEI CATETI SULL’IPOTENUSA. Precisamente:
- AH è la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa
- HB è la proiezione del cateto BC sull’ipotenusa
Non solo: CH divide il triangolo dato in due triangoli rettangoli, CHA e CHB.
Se quindi conosciamo le dimensioni dei cateti e dell’ipotenusa, possiamo calcolare la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa. Una volta calcolata tale altezza, possiamo anche determinare le lunghezze delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli formati dall’altezza.
CALCOLARE L’ALTEZZA RELATIVA ALL’IPOTENUSA NOTI TRE LATI
Se conosciamo la lunghezza dei cateti e la misura dell’ipotenusa, possiamo calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa. Infatti, come vi dimostrerò nell’esempio 1 e 2, vale la seguente formula :
h = (c1 x c2): i
Nota h, le proiezioni dei cateti a’ e b’ si possono calcolare facilmente.
Con riferimento alla figura a lato, applicando le formule inverse del teorema di Pitagora, otteniamo:
Più complicato a dirsi che a farsi!
Vi propongo alcuni esempi
PROIEZIONI DEI CATETI SULL’IPOTENUSA. Esempi
ESEMPIO 1
Un triangolo rettangolo ha i due cateti lunghi 7 cm e 24 cm. Calcola la lunghezza delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
SVOLGIMENTO
Starete pensando: come faccio???
Ragioniamo un momento. Per calcolare le proiezioni dei cateti, devo conoscere la lunghezza di CH, altezza relativa all’ipotenusa. Per calcolare CH, però, devo anche conoscere la lunghezza dell’ipotenusa e la misura dell’area del triangolo rettangolo ABC.
Cominciamo subito calcolando l’ipotenusa AB. Applichiamo il teorema di Pitagora:
AB = √(AC2 + BC2)= √(72 + 242)= √625 = 25 cm
Calcoliamo ora l’area del triangolo ABC :
A = (b x h) : 2 = (24 x 7) : 2 = 84 cm2
Ma in qualsiasi triangolo, l’area si calcola dividendo il prodotto della base per l’altezza per 2. E’ anche vero che
A = (AB x CH): 2
Conoscendo l’area e l’ipotenusa, posso quindi calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa. Abbiamo:
CH = 2A : AB = 2 x 84 : 25 = 6.72 cm
Possiamo ora calcolare le due proiezioni richieste, applicando il teorema di Pitagora ai triangolo CAH e CBH.
Abbiamo :
AH = √(AC2 – CH2)= √(72 – 6.722)= √3.814 = 1.96 cm
Invece di applicare ancora una volta il teorema di Pitagora per calcolare HB, ci basta sottrarre AH all’ipotenusa.
Abbiamo perciò:
HB = AB – AH = 25 -1.96 = 23.04 cm
ESEMPIO 2
in un triangolo rettangolo un cateto e l’ipotenusa misurano rispettivamente cm 15 e cm 8. Trovare la misura delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
SVOLGIMENTO
Noi conosciamo la misura di un cateto e dell’ipotenusa. Il problema ci chiede di trovare la misura delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Per poterlo fare, abbiamo bisogno di conoscere la misura di tutti i lati del triangolo.
A noi manca la misura del cateto BC, ma possiamo trovarla applicando il teorema di Pitagora.
Abbiamo:
BC = √(AB2 – AC2)= √(162 – 82)= √192 = 13.86 cm
Ora esaminiamo i due triangoli CHB e CHA. Per entrambi conosciamo un solo lato. Possiamo trovare, però, un altro lato, che è comune ad entrambi e che è l’altezza relativa all’ipotenusa CH.
Ricordando che
A = (AC x BC) : 2 = (AB x CH) : 2
otteniamo
CH = (AC x BC) : AB
ovvero: possiamo calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa dividendo il prodotto delle lunghezze dei cateti per la lunghezza dell’ipotenusa.
Abbiamo
CH = (8 x 13.86) : 16 = 6.93 cm
Possiamo ora calcolare le proiezioni richieste, applicando il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli formati da CH :
- CHA ha l’ipotenusa che misura cm 8 e un cateto che misura cm 6,93;
- CHB ha l’ipotenusa che misura cm 13.86 e un cateto che misura cm 6,93.
Calcoliamo :
AH = √(AC2 – CH2)= √(82 – 6.932)= √3.814 ≈ 4 cm
BH = √(BC2 – CH2) ≈ 12 cm