Dopo il raccoglimento parziale e quello totale, oggi ci occupiamo di un altro importante metodo di scomposizione dei polinomi, quello MEDIANTE RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI.
SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI : di che cosa si tratta
Sappiamo già che i prodotti notevoli ci consentono di svolgere più rapidamente alcuni calcoli tra polinomi.
Possiamo però utilizzarli per eseguire alcune scomposizioni. Se infatti riusciamo a ricondurre un polinomio a uno dei prodotti notevoli che conosciamo, allora possiamo scomporlo in fattori. Otteniamo quindi le seguenti regole:
Vediamo insieme alcuni esempi.
ESEMPIO 1 ⇒ QUADRATO DI UN BINOMIO
Se ci troviamo davanti un trinomio, verifichiamo se può trattarsi del quadrato di un binomio. Riconosciamo innanzi tutti i due quadrati e poi verifichiamo il doppio prodotto.
Ad esempio nel trinomio
x6 -6x3 + 9
riconosciamo che x6 e 9 sono i due quadrati di x3 e ±3. Dobbiamo verificare ora che -6x3 sia il doppio prodotto dei due termini. Risulta -6x3= 2(-3)x3
Abbiamo perciò
x6 -6x3 + 9 = (x3-3)²
ESEMPIO 2: DIFFERENZA DI DUE QUADRATI
Consideriamo il seguente binomio:
4a2 – 81
riconosciamo immediatamente la differenza di quadrati e possiamo scrivere i due fattori con
somma e differenza:
4a2 – 81 = (2a)2-(9)2= (2a+9)(2a-9)
ESEMPIO 3 : QUADRATO DI UN TRINOMIO
Se vediamo un polinomio formato da SEI termini. verifichiamo che può trattarsi dello sviluppo di un quadrato di un trinomio. Ricerchiamo innanzitutto i quadrati e poi verifichiamo che i termini rimanenti siano i doppi prodotti delle basi:
Consideriamo il seguente polinomio
a2 + 9 + 6a + b2 + 2ab + 6b
Esso è composto da sei termini e possiamo verificare se si tratta dello sviluppo del quadrato di un trinomio. Identifichiamo i quadrati. In questo caso sono a2 , 9 e b2
Verifichiamo che i termini rimanenti sono i doppi prodotti delle basi. Risulta:
6a = 2(a) (3)
2ab = 2 (a) (b)
6b = 2 (3) (c)
Abbiamo quindi lo sviluppo del quadrato del trinomio e possiamo scrivere:
a2 + 9 + 6a + b2 + 2ab + 6b = (a+3+b)2
ESEMPIO 4: CUBO DI UN BINOMIO
Consideriamo il seguente quadrinomio:
x3 + 8 + 6x2 + 12x
Verifichiamo che si tratti dello sviluppo del cubo di un binomio. Individuiamo innanzitutto i due cubi e poi verifichiamo che i termini rimanenti siano i tripli prodotti. In questo caso i due cubi sono x3 e 8, che sono rispettivamente il cubo di x e di 2.
Controlliamo ora i tripli prodotti:
6x2 = 3 (x)2 (2)
12x = 3 (x) (2)2
In conclusione risulta:
x3 + 8 + 6x2 + 12x = (x+2)3
SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI : RICAPITOLANDO
Per poter concludere che un polinomio sia lo sviluppo di un prodotto notevole, dobbiamo controllare che tutti i suoi termini coincidano con il prodotto notevole ipotizzato.
Per esempio, potremmo pensare che il trinomio x2 + 2xy + 4y2 sia il quadrato di un binomio.
Infatti riconosciamo subito che i termini x2 e 4y2 sono rispettivamente i quadrati di x e di 2y.
Ma il termine 2xy non è il doppio prodotto di x e di 2y. Dunque, in questo caso, il trinomio dato non è il quadrato di un binomio.
Nel pdf allegato troverete la lezione in formato stampabile. Negli allegati successivi troverete invece gli esercizi sui vari prodotti notevoli
- SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI
- ESERCIZI SCOMPOSIZIONE DIFFERENZA QUADRATI
- scomposizione quadrato binomio
- ESERCIZI SCOMPOSIZIONE QUADRATO TRINOMIO
- scomposizione cubo binomio
- riepilogo raccoglimento e prodotti notevoli
Spero di riuscire a completare prima possibile il file con lo svolgimento degli esercizi
SCOMPOSIZIONE : PER SAPERNE DI PIU’
LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI
metodi
- RACCOGLIMENTO PARZIALE
- RACCOGLIMENTO TOTALE
- Riconoscimento di prodotti notevoli
- SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO (trinomio speciale o trinomio caratteristico)
- MEDIANTE TEOREMA E REGOLA DI RUFFINI