lezioniignoranti
Pubblicità

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI

Scritto il

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI : abbiamo detto ieri che per usare i numeri irrazionali, ovvero dei numeri ILLIMITATI e NON periodici, dobbiamo necessariamente ricorrere ad un loro VALORE APPROSSIMATO. Vediamo oggi quale errore si commette e come esso si propaga poi nelle operazioni

RICORDA: Si chiama numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico.

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI: il valore approssimato di un numero reale

Come abbiamo già detto, per eseguire le operazioni con i numeri irrazionali, dobbiamo ricorrere ad una loro rappresentazione decimale (ovvero con un numero razionale) approssimata.

Un numero RAZIONALE b è un VALORE APPROSSIMATO di un numero REALE a, a meno di un valore k, se il valore assoluto della loro differenza è MINORE DI k. Scriviamo

|a-b| < k

  • Se b < a, diciamo che a è APPROSSIMATO PER DIFETTO
  • Se b>a, allora il numero a è APPROSSIMATO PER ECCESSO

Se a’ e a’’ sono un valore approssimato per difetto e uno approssimato per eccesso del numero reale a, chiamiamo INTERVALLO DI APPROSSIMAZIONE la differenza a’’ – a’

Possiamo dire che approssimare un numero reale a meno di

significa scrivere tale numero reale con k cifre decimali, aumentando di 1 la k-sima cifra.

Approssimare per difetto √2 a meno di due cifre decimali, significa approssimarlo a 10-2. Il valore che otteniamo è 1,41. Invece il valore approssimato per ECCESSO di √2 è 1,42

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI: errore assoluto e relativo

Abbiamo detto che approssimando i numeri reali, commettiamo un errore. Dato un numero reale a e un suo valore approssimato b, definiamo due tipi di errore: ASSOLUTO e RELATIVO.

⇒ Chiamiamo ERRORE ASSOLUTO il modulo della differenza tra il numero reale e il suo valore approssimato:

ea = |a -b|

⇒ Si chiama ERRORE RELATIVO il RAPPORTO tra l’errore assoluto e il modulo di a :

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI: ARROTONDAMENTO E TRONCAMENTO

Per trovare il valore approssimato di un numero possiamo procedere in due modi: per ARROTONDAMENTO oppure per TRONCAMENTO

⇒ Si parla di TRONCAMENTO quando l’approssimazione è sempre fatta PER DIFETTO.

Ad esempio il valore troncato alla prima cifra decimale di √2 è 1,4. Il valore troncato alla seconda cifra decimale di 2,74678 è 2,74

⇒ Parliamo di ARROTONDAMENTO quando consideriamo il valore APPROSSIMATO PER ECCESSO O PER DIFETTO di un numero.

Arrotondare un numero a meno di 10-k significa scrivere il numero decimale con k cifre dopo la virgola che approssima meglio il numero dato.

Per arrotondare un numero:

  • approssimiamo per difetto, se la (k + 1)-esima cifra decimale è minore di 5;
  •  approssimiamo il numero per eccesso, se la (k + 1)- esima cifra decimale è maggiore o uguale a 5.

Ad esempio, se vogliamo arrotondare il numero 8, 534 alla seconda cifra decimale (a 10-2), guardiamo la TERZA CIFRA. Siccome essa è MINORE di 5 (infatti è 4), allora il numero è approssimato per difetto a 8, 53

Se invece vogliamo arrotondare 9,573 alla PRIMA cifra decimale (a 10-1), guardiamo la SECONDA cifra. Siccome è MAGGIORE di 5 (infatti è 7), il numero arrotondato per ECCESSO è 9,6.

NOTA BENE: Lo stesso procedimento si può usare anche per i numeri interi, sostituendo le cifre successive con degli zeri.

Se per esempio vogliamo approssimare un numero alle centinaia, significa che dopo la cifra delle centinaia (cioè dalle decine) avremo degli zeri. Se vogliamo approssimare alle migliaia, avremo degli zeri dopo la posizione delle migliaia.

Per esempio 8 456 352 approssimato alle centinaia diventa 8 456 400. Infatti la cifra delle decine è un numero MAGGIORE O UGUALE a 5. Se invece lo approssimiamo alle migliaia otteniamo 8 456 000

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI: La propagazione degli errori

Quando in un’espressione, a due o più numeri reali sostituiamo i loro valori approssimati, naturalmente anche il risultato dell’espressione sarà un valore che approssima il suo valore esatto. Il valore ottenuto DIPENDE delle singole approssimazioni; in questo caso si parla di propagazione dell’errore.

In pratica, quando eseguiamo delle operazioni con i valori approssimati (e quindi affetti da errori), gli errori si diffondono. Qualunque sia l’operazione da eseguire, addizione o sottrazione, moltiplicazione o divisione, risulta sempre che

Il valore MASSIMO dell’errore ASSOLUTO è uguale alla SOMMA degli errori assoluti dei termini dell’operazione o di una loro stima

Per determinare come gli errori commessi nell’approssimazione di due o più numeri INFLUISCANO sul risultato di un’espressione numerica, dobbiamo vedere come si propagano gli errori se nell’espressione compaiono:

  1. addizione e sottrazione;
  2. moltiplicazione.

⇒Propagazione dell’errore nell’addizione e nella sottrazione

L’errore assoluto della somma e della differenza di due numeri reali approssimati è:

  • uguale alla somma degli errori assoluti dei due addendi, se entrambi sono approssimati per difetto o per eccesso;
  • minore o uguale alla somma degli errori assoluti dei due addendi, se uno è approssimato per difetto e uno per eccesso.

se sommiamo i valori che arrotondano due numeri a e b, commettiamo un errore. L’errore massimo che commettiamo è la somma degli errori delle approssimazioni di ogni addendo. Nel caso della sottrazione, l’errore massimo che commettiamo sottraendo due numeri è la somma degli errori delle approssimazioni del minuendo e del sottraendo

⇒ Propagazione dell’errore nella moltiplicazione

l’errore relativo del prodotto tra due numeri relativi positivi è approssimativamente uguale alla somma degli errori relativi dei due fattori.

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI : matematica e fisica

Come abbiamo già visto e come rivedremo tra qualche giorno, il concetto di errore vi tornerà utile anche in Fisica. Infatti come accade per i numeri reali, anche nelle misure dobbiamo accontentarci di un valore approssimato. Per ottenere tale valore, dobbiamo effettuare una serie di misurazioni e poter stimare l’errore che commettiamo

APPROSSIMAZIONE ED ERRORE NEI NUMERI REALI: bibliografia

5,0 / 5
Grazie per aver votato!
PubblicitàPubblicità