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DISEQUAZIONI FRAZIONARIE

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DISEQUAZIONI FRAZIONARIE : riguardando il blog e i tanti articoli che ho condiviso con voi nel corso degli ultimi tre anni, mi sono resa conto che non abbiamo mai parlato delle equazioni di secondo grado, argomento che ho dato per scontato ma che riprenderemo alla fine della discussione sulle disequazioni.

Intanto oggi occupiamoci delle disequazioni fratte o frazionarie, in cui l’incognita compare almeno in un denominatore. Il procedimento risolutivo è simile a quello visto per le disequazioni scomponibili in fattori, in cui già avevamo accennato a tale argomento. Vediamo comunque insieme meglio di che cosa si tratta

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE : che cosa sono

Le disequazioni frazionarie (o fratte) sono quelle in cui al denominatore compaiono polinomi di primo o secondo grado (o ad essi riducibili).

I denominatori presenti nelle disequazioni frazionarie non possono essere eliminati moltiplicando tutti i termini per il minimo comune multiplo.

Infatti NON POSSIAMO conoscere a priori il segno del m.c.m., che contiene l’incognita, perciò non sappiamo se il verso della disequazione rimarrà lo stesso oppure se dovremo cambiarlo a seguito della moltiplicazione.

Per risolvere una disequazione frazionaria, dobbiamo ridurla a una delle forme

dove A(x) e B(x) sono due polinomi nella variabile x e deve risultare

B(x) ≠0

Studiamo poi separatamente il segno del numeratore e del denominatore e determiniamo gli intervalli in cui i loro segni sono concordi o discordi. Ricaviamo quindi per quali intervalli il rapporto fra numeratore e denominatore è positivo o negativo, ossia dove la disequazione fratta risulta > 0 o < 0.

Le disequazioni (1) avranno soluzioni per i valori della x per i quali numeratore e denominatore sono concordi (entrambi positivi o entrambi negativi), mentre le (2) avranno soluzioni per quei valori della x per i quali numeratore e denominatore sono discordi (l’uno positivo e l’altro negativo). Precisamente

Dopo aver risolto le disequazioni (a) o (b) ed aver riportato su uno stesso grafico le soluzioni ottenute, per trovare le soluzioni della disequazione fratta ci basta applicare la regola dei segni e considerare, come soluzioni delle (1) quelle con il segno positivo, e come soluzioni delle (2) quelle con il segno negativo

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE : come risolverle

  1. riconduciamo la disequazione alla FORMA NORMALE
  2. studiamo i segni del numeratore e del denominatore della frazione a primo membro.
  3. Costruiamo  la tabella dei segni.
  4. Scriviamo le soluzioni, ricavandole dalla tabella dei segni

In altre parole, per risolvere una disequazione fratta in forma normale, ovvero nelle forme (1) oppure (2)

studiamo i segni del numeratore e del denominatore, poi determiniamo il segno della frazione mediante la regola dei segni.

INOLTRE La frazione si annulla se e solo se il numeratore è 0; non esiste se il denominatore è nullo.

sulla riga che riporta il segno della frazione algebrica, dovremo inserire il simbolo di NON ESISTENZA ∄ oppure il PALLINO VUOTO  in corrispondenza dei valori in corrispondenza dei quali  la frazione non è definita

vediamo ora come procedere con alcuni esempi

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE : esempi

ESEMPIO 1

Vogliamo studiare la seguente disequazione

 

 

 

RICORDA: anche quando la disequazione da studiare è negativa, ci riportiamo sempre allo studio di quella POSITIVA, per evitare di “impicciarci” con la soluzione ottenuta!

La disequazione è già in forma normale, per cui passiamo direttamente a studiare il segno del numeratore e quello del denominatore:

  • Numeratore      x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5
  • Denominatore     4 – x2 > 0 ⇒  -2 < x < 2
  • Costruiamo la tabella dei segni

  • Concludiamo analizzando i risultati dello schema. La disequazione data è verificata quando la frazione algebrica  è negativa o nulla. Dalla tabella dei segni vediamo che ciò accade per:

-2 < x < 2 ∨ x ≥ 5

NOTA BENE :  -2 e 2 sono estremi esclusi perché, per x = ±2, la frazione non è definita;  invece 5 è un estremo incluso, perché, per x = 5, la frazione è nulla. Graficamente :

 

RICORDA : Se il numeratore e/o il denominatore della frazione algebrica che vogliamo studiare sono di grado maggiore al secondo, dobbiamo innanzi tutto scomporli in fattori di grado inferiore, di cui sappiamo studiare il segno; poi, invece di studiare il segno del numeratore e del denominatore, studiamo il segno di ciascun fattore.

ESEMPIO 2

Risolviamo la disequazione

Scomponiamo il numeratore in fattori di 1° e 2° grado:

  • Studiamo il segno di ciascun fattore.
    • 1° fattore  :  x ≥ 0 ⇒ x ≥ 0
    • 2° fattore  :  x² – 4 ≥ 0 ⇒ x ≤ -2 ∨ x ≥ 2
    • 3° fattore   : x² – 25 > 0 ⇒ x < -5 ∨ x > 5
  • Costruiamo la tabella dei segni:

  •  Concludiamo analizzando i risultati dello schema. La disequazione è verificata quando la frazione algebrica al primo membro è positiva o nulla, cioè per:

-5 < x ≤ -2 ∨ 0 ≤ x ≤ 2 ∨ x > 5

Attenzione agli estremi inclusi ed esclusi! Graficamente:

ESEMPIO 3

Vediamo ora come risolvere una disequazione frazionaria non in forma normale. Consideriamo la disequazione

Siccome non è in forma normale, dobbiamo prima ricondurla in forma canonica mediante i princìpi di equivalenza per le disequazioni e il calcolo algebrico. Portiamo a primo membro la frazione che compare al secondo, cambiando il suo segno, e scomponiamo i denominatori in fattori di primo grado. Otteniamo così

Eseguiamo ora la somma algebrica al 1° membro, dopo aver calcolato il m.c.m dei denominatori. Abbiamo

Svolgiamo ora i calcoli al numeratore. Otteniamo

x + 1 + 3 -2x = 4 -x.

La nostra disequazione diventa :

A questo punto possiamo continuare la risoluzione della disequazione studiando il segno dei vari “fattori” al denominatore e del numeratore.

RICORDA: anche quando la disequazione da studiare è negativa, ci riportiamo sempre allo studio di quella POSITIVA, per evitare di “impicciarci” con la soluzione ottenuta!

Otteniamo

  • 1°fattore :  4-x > 0 ⇒ x <  4
  • 2° fattore : x > 0
  • 3°fattore x+1 > 0 ⇒ x > -1
  • Costruiamo la tabella dei segni e ricordiamo che ci viene richiesto di sapere dove la frazione algebrica è negativa
  • Troviamo che la disequazione è soddisfatta per -1 < x < 0 ∨ x ≥ 4.

 

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE :Bibliografia

DISEQUAZIONI FRAZIONARIE : per saperne di più

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