DISEQUAZIONI LETTERALI O PARAMETRICHE

DISEQUAZIONI LETTERALI

Sinora ci siamo occupati delle disequazioni intere di primo grado. Prima di passare alle disequazioni fratte e a quelle di grado superiore al primo, occupiamoci di un tipo particolare di disequazioni, che spesso disturba i miei ragazzi.

DISEQUAZIONI LETTERALI: definizione

si dicono letterali o parametriche, quelle disequazioni che, oltre alle incognite, contengono anche ALTRE LETTERE, dette PARAMETRI.

Queste lettere sono trattate come NUMERI FISSI e sono anche dette COSTANTI.

Ad esempio, la disequazione intera di primo grado

2ax – 5b > 0.

è una disequazione letterale. La nostra INCOGNITA è la x; a, b sono considerate COSTANTI e vengono trattate come NUMERI.

Vediamo come si risolvono le disequazioni letterali.

DISEQUAZIONI LETTERALI : risoluzione

Anche per le disequazioni letterali valgono le stesse regole viste per le disequazioni numeriche. Per risolverle, quindi, dobbiamo trasformare la disequazione data in un’altra equivalente .

Tuttavia bisogna tener presente che trasformando una disequazione in un’altra equivalente applicando i due principi di equivalenza.

PRIMO PRINCIPIO : addizionando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione un numero o un’espressione, si ottiene una disequazione equivalente alla precedente.
SECONDO PRINCIPIO :
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero MAGGIORE DI ZERO, si ottiene una disequazione equivalente alla precedente.
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero MINORE DI ZERO, per ottenere una disequazione equivalente a quella data, dobbiamo CAMBIARE IL VERSO DELLA DISEQUAZIONE.

Dal PRIMO PRINCIPIO deriva la REGOLA DEL TRASPORTO, che permette di spostare un termine da un membro all’altro di una disequazione cambiando il segno.

Dal SECONDO PRINCIPIO, invece, deriva la REGOLA DI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE, che permette di moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero

RICORDA :

se il numero per cui si moltiplica o si divide è POSITIVO (>0) il verso della disequazione non cambia
se il numero per cui si moltiplica o si divide è NEGATIVO (<0), si deve cambiare il verso della disequazione.

Una volta arrivati alla soluzione con x maggiore o minore di un certo valore, comprendenti i parametri presenti, dovremo andare a discutere i vari casi possibili, a seconda dei valori assunti dalle costanti.

Schema risolutivo disequazioni parametriche

Per risolvere una disequazione letterale, di qualunque grado, dobbiamo procedere come segue

Innanzitutto dobbiamo stabilire se esistono valori dei parametri per i quali la disequazione perde di significato. Una volta stabilito questo insieme di valori, che indicheremo con CE dobbiamo escluderli e proseguire.
Applicando i principi di equivalenza e le regole pratiche, dobbiamo trasformare la disequazione data in una equivalente che abbia la forma canonica ax > b oppure ax < b. Possono comparire anche i simboli di ≤ oppure di ≥. Con a e b indichiamo anche un’espressione con i parametri.
A questo punto, dobbiamo determinare l’insieme dei valori (Z) da assegnare ai parametri in modo che sia a= 0. Dobbiamo poi sostituire ciascuno di questi valori nella disequazione (facendo attenzione che non siano elementi che rendono priva di significato la disequazione, ovvero che gli elementi di Z non siano anche elementi di CE) e risolvere la disequazione ottenuta, ricordando che i soli risultati possibili sono “disequazione impossibile” o “disequazione indeterminata”.
Dobbiamo poi risolvere la disequazione a > 0. Per tutti i valori dei parametri che soddisfano questa relazione e che non appartengono a CE, la soluzione della disequazione parametrica è : x > b/a
Ci resta ora da analizzare la disequazione a < 0. Per tutti i valori dei parametri che soddisfano questa relazione e che non appartengono a CE, la soluzione della disequazione parametrica è x < b/a
L’ultimo passaggio consiste nel ricapitolare in maniera ragionata quanto ottenuto ai punti precedenti.

Vediamo come procedere con qualche esempio.

DISEQUAZIONI LETTERALI. ESEMPI

ESEMPIO 1

Consideriamo la semplice disequazione

ax – b > 0

Applicando la regola del trasporto abbiamo

ax > b

Per la regola di moltiplicazione e divisione, prima di dividere tutto per a, dobbiamo considerare i casi possibili.

Se infatti a > 0, otteniamo:

x > b/a

la disequazione è DETERMINATA e quella ottenuta è la soluzione richiesta.

Se a < 0, invece :

x < b/a

è la soluzione richiesta. Anche in questo caso la disequazione è DETERMINATA

Se a = 0 , la disequazione da risolvere diventa

0 * x > b

- Se b < 0, la nostra disequazione è sempre verificata per qualunque valore di x (zero è sempre maggiore di un numero negativo). In questo caso quindi la disequazione data è INDETERMINATA.
- Se b > 0, la disequazione data è IMPOSSIBILE. Infatti zero è sempre MINORE di un numero positivo.