Disequazioni monomie

Disequazioni monomie: dopo tanto tempo e tanti eventi che continuano a scombussolare la vita mia e della mia famiglia, finalmente trovo la tranquillità per riprendere il discorso che avevamo interrotto qualche mese fa. E ripartiamo dalle disequazioni! Nei prossimi giorni vedremo insieme alcuni tipi semplici e poi passeremo alle equazioni e disequazioni irrazionali e con valori assoluti. In seguito il mio proposito è di tornare alla fisica e alla chimica ma chissà quante altre cose accadranno nel frattempo.

Intanto vediamo che cosa si intende per

Disequazioni monomie : definizione 

Si chiamano monomie le disequazioni che si possono ricondurre a una delle seguenti forme, con a ≠0 ed n ∊ N – {0}:

• axⁿ < 0
• axⁿ > 0
• axⁿ ≤ 0
• axⁿ ≥ 0

Tali disequazioni si possono risolvere facilmente ricordando che:

• una potenza di esponente pari è sempre positiva o nulla;
• una potenza di esponente dispari ha sempre lo stesso segno della base

Le quattro forme precedenti prendono il nome di MONOMIE perché al primo membro di ciascuna disequazione troviamo un monomio. Analogamente possiamo  risolvere anche le disequazioni della forma precedente in cui la base della potenza, anziché essere x, è un polinomio di cui sappiamo studiare il segno. In questo caso parliamo di disequazioni RICONDUCIBILI a MONOMIE. Per capire meglio vedere gli esempi 3, 4 e 5 seguenti

Disequazioni monomie : esempi

Esempio 1

Risolviamo la seguente disequazione

3x⁴> 0

Come accennato, una potenza di esponente pari (4 in questo caso) è sempre POSITIVA oppure NULLA. Il primo membro è quindi sempre positivo, tranne per x= 0, valore per cui essa diventa nulla.

Questo significa che la disequazione è verificata per ogni x∈ R, con x≠ 0.

Esempio 2 

Proviamo ora a risolvere la seguente disequazione

8x⁵≤ 0

Una potenza di esponente dispari (5, in questo caso) ha sempre lo stesso segno della base, la disequazione è verificata per x ≤ 0, cioè per valori della x minori o uguali a zero.

Esempio 3 (Disequazioni riconducibili a monomie)

Risolviamo la disequazione

(x- 1)⁴≥ 0

Anche se la base è un binomio, possiamo applicare le stesse considerazioni fatte per l’esempio 1. Vale ancora il fatto che una potenza di esponente pari (4 in questo caso) è sempre positiva o nulla. Di conseguenza la disequazione è verificata per ogni x ∈R.

Esempio 4 (Disequazioni riconducibili a monomie)

Vogliamo ora risolvere la seguente disequazione

(4x²– 1)³< 0

Anche in questo caso, pur essendo la base un binomio, valgono le stesse considerazioni fatte nell’esempio 2. Infatti una potenza di esponente DISPARI (in questo caso 3) ha sempre lo stesso segno della base, la disequazione data equivale a

4x²– 1 < 0

ovvero

(2x +1) (2x -1) < 0

Essa è soddisfatta per valori interni all’intervallo delle radici, ovvero per

−1/2 < x < 1/2.

Esempio 5 (Disequazioni riconducibili a monomie)

Risolviamo infine la disequazione

(2x- 4)⁶≤ 0

In questo caso la potenza è di esponente pari. Essa è sempre POSITIVA o NULLA. La disequazione è quindi verificata solo quando la base della potenza, cioè

2x- 4

è nulla. Questo si verifica per x= 2

Disequazioni monomie : Bibliografia

• Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
• Sasso, C. Zanone – I colori della matematica  – Petrini
• Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli