Parlando delle disequazioni e dei logaritmi è capitato di accennare a termini come “intervallo delle soluzioni” o intervallo di esistenza.
Introduciamo quindi il concetto di intervallo e scopriamo le varie tipologie.
TIPI DI INTERVALLI: che cos’è un intervallo
Gli intervalli possono essere rappresentati sulla retta reale, cioè la retta dei numeri reali, poiché ad ogni punto della retta si può associare un numero.
Gli intervalli possono essere
- limitati quando sono rappresentati da segmenti
- illimitati de rappresentato da semirette o da tutta la retta dei numeri reali.
Si usano le parentesi tonde oppure le parentesi quadre “GIRATE” per indicare che gli estremi sono ESCLUSI
TIPI DI INTERVALLI: INTERVALLI LIMITATI
Esaminiamo ora gli intervalli limitati; essi possono essere aperti, chiusi, o semichiusi, in base al fatto di contenere o meno i loro estremi:
⇒ intervalli aperti
si indicano con
(a ; b)
con a e b estremi non compresi; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori di a e minori di b.
Possiamo anche scrivere un intervallo aperto con la seguente notazione :
a < x < b
ATTENZIONE : sono limitati perché agli estremi compaiono sempre dei valori FINITI!!!
⇒ intervalli chiusi
si indicano con
[a ; b]
con a e b estremi COMPRESI; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori o uguali di a e minori o uguali di b.
In alternativa, possiamo indicare gli intervalli chiusi, che comprendono entrambi gli estremi, come :
a ≤ x ≤ b
⇒ intervalli semichiusi (o semiaperti)
Sono intervalli in cui solo uno dei due estremi è compreso nell’intervallo; possono essere di due tipi:
→ Intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra : si indicano con
[ a ; b )
con a estremo COMPRESO e b estremo NON compreso.
Essi rappresentano l’insieme dei numeri maggiori o uguali di a e minori di b. Possiamo anche scrivere :
a ≤ x < b
→Intervalli chiusi a destra e aperti a sinistra
Si indicano con
( a ; b ]
con a estremo non compreso e b estremo compreso; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori di a e minori o uguali di b.
Ovvero :
a< x ≤ b
RICORDA:
I numeri COMPRESI tra i due estremi dell’intervallo si dicono INTERNI all’intervallo, mentre i numeri NON compresi fra gli estremi si dicono ESTERNI all’intervallo.
AMPIEZZA DI UN INTERVALLO LIMITATO
Se a e b sono gli estremi dell’intervallo, l’ampiezza dell’intervallo è data dal numero b – a.
TIPI DI INTERVALLI : INTERVALLI ILLIMITATI
Gli intervalli illimitati possono essere costituiti da semirette (ed essere quindi aperti o semiaperti) o dall’intera retta reale.
In pratica, un intervallo è ILLIMITATO se ad uno dei due estremi (oppure ad entrambi) compare il simbolo di infinito ∞
Esistono diversi tipi di intervalli illimitati. Vediamoli meglio.
→ Intervallo illimitato a destra e aperto a sinistra (illimitato superiormente):
Si indica con
(a;+∞)
ed è costituito dai numeri maggiori di a, che è un estremo non incluso; possiamo anche scrivere :
(a;+∞) = { x ∈R⎪x > a}
→ Intervallo illimitato a destra e chiuso a sinistra (illimitato superiormente)
si indica con
[a;+∞)
ed è costituito dai numeri maggiori o uguali di a, che è un estremo incluso. Possiamo anche scrivere:
→ Intervallo illimitato a sinistra e aperto a destra (illimitato inferiormente)
si indica come
(−∞; a)
Esso è costituito dai numeri minori di a, che è un estremo non incluso. Possiamo anche scrivere:
(−∞;a) = { x ∈R⎪x < a}
→ Intervallo illimitato a sinistra e chiuso a destra (illimitato inferiormente)
si indica con
(−∞; a ]
ed è costituito dai numeri minori o uguali di a, che è un estremo incluso.
(−∞; a ] = { x ∈R⎪x ≤ a}
→ Intervallo illimitato sia a sinistra che a destra (illimitato superiormente e inferiormente)
si indica
(−∞;+∞)
e rappresenta tutto l’insieme dei numeri reali.