DISEQUAZIONI
Vediamo insieme che cosa sono le disequazioni. Parleremo poi con calma dei vari tipi di disequazioni esistenti.
Come le equazioni, le disequazioni permettono di risolvere numerosi problemi, non solo di natura matematica! Le troverete infatti in chimica, fisica, biologia, statistica…. sono come i logaritmi: spuntano dappertutto!
DISEQUAZIONI: definizione
Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche (una delle quali deve contenere un’incognita) che può essere vera o falsa a seconda dei valori attribuiti all’incognita.
In pratica, mentre nel caso di un’equazione vogliamo risolvere un’espressione del tipo
A = B
nel caso di una disequazione vogliamo trovare un modo per confrontare due grandezze. Ovvero vogliamo capire se A è MAGGIORE DI B
A > B
oppure se A è MINORE di B
A < B
o ancora se e quando le due grandezze sono uguali
RICORDA: Una disuguaglianza è una relazione tra due numeri o tra due espressioni che indica che NON sono uguali tra loro.
Vediamo quali sono i SIMBOLI CHE COMPAIONO NELLE DISEQUAZIONI
DISEQUAZIONI. I SIMBOLI
DISEQUAZIONI : LA RISOLUZIONE
Come nel caso delle equazioni, anche nel caso delle disequazioni possiamo spostare uno stesso numero tra un membro e l’altro cambiando il suo segno.
Risolvere la disequazione significa trovare i valori dell’incognita, se esistono, che rendono vera la disuguaglianza.
Tali valori rappresentano la soluzione della disequazione.
La soluzione di una disequazione può essere scritta in diversi modi:
- per caratteristica
- graficamente
- simbolicamente con gli intervalli
Vedremo meglio dopo che cosa significa
DISEQUAZIONI EQUIVALENTI
Due disequazioni sono equivalenti quando hanno lo stesso insieme soluzione.
Una disequazione si può trasformare in un’altra equivalente applicando i principi di equivalenza delle disequazioni.
L’applicazione di questi principi ci permette di risolvere le disequazioni
PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Primo principio:
addizionando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione un numero o un’espressione, si ottiene una disequazione equivalente alla precedente.
Per esempio:
3 < 5
può diventare
3 + 5 < 5 + 5
ovvero 8 < 10
In questo caso abbiamo sommato una stessa quantità sia a destra che a sinistra del simbolo di diseguaglianza
Sottraendo abbiamo
3 – 1 < 5 – 1
ovvero 2 < 4
Dal primo principio deriva la REGOLA DEL TRASPORTO, che permette di spostare un termine da un membro all’altro di una disequazione cambiando il segno.
SECONDO PRINCIPIO :
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero MAGGIORE DI ZERO, si ottiene una disequazione equivalente alla precedente. Per esempio
8 < 10
-
- Moltiplicando entrambi i membri per due abbiamo
8 * 2 < 10 * 2 ovvero 16 < 20
-
- Dividendo entrambi i membri per 2
8 : 2 < 10 : 2 otteniamo 4 < 5
- Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero MINORE DI ZERO, per ottenere una disequazione equivalente a quella data, dobbiamo CAMBIARE IL VERSO DELLA DISEQUAZIONE.
- dividendo per un numero negativo il simbolo di minore va sostituito con quello di MAGGIORE
8 : (-2) > 10 : (-2)
-
- Analogamente, il simbolo di maggiore va sostituito con quello di MINORE
5 > 3
Diventa, moltiplicando o dividendo per un numero negativo
5 * (-3) < 3 * (-3)
Da questo principio deriva la REGOLA DI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE, che permette di moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero
RICORDA :
- se il numero per cui si moltiplica o si divide è POSITIVO (>0) il verso della disequazione non cambia
- se il numero per cui si moltiplica o si divide è NEGATIVO (<0), si deve cambiare il verso della disequazione.
DISEQUAZIONI: la definizione rigorosa
Una disequazione è una diseguaglianza del tipo
f(x) > g(x)
f(x) ≥ g(x)
f(x) < g (g)
f(x) ≤ g (x)
Risolvere una disequazione significa trovare tutti i valori dell’incognita x che la rendono vera.
Generalmente, risolvendo una disequazione si ottiene un intervallo di valori che la soddisfano e non un solo valore.
Per esempio
x- 1 > 0
E’ verificata per tutti i valori di x > 1.
Vediamo ora come rappresentare le soluzioni di una disequazione
DISEQUAZIONI: la rappresentazione delle soluzioni
La soluzione di una disequazione può essere scritta in diversi modi:
- per caratteristica : x > 1
- simbolicamente con gli intervalli : S = (1; + ∞)
- graficamente
Rappresentazione grafica
Vediamo come ottenere la rappresentazione grafica delle soluzioni di una disequazione.
Disegniamo l’asse dei numeri reali, ovvero una semiretta che va da – ∞ a + ∞ e su tale asse indichiamo i valori trovati (nel nostro caso 1).
Tracciamo poi una nuova riga CONTINUA per indicare l’intervallo che soddisfa la nostra disequazione
