Oggi cominciamo a parlare delle equazioni lineari, ovvero delle equazioni di primo grado. Ragazzi, ho davvero tanti articoli pronti ma il mio progetto è di aiutarvi soprattutto con tanti esempi pratici, per cui sto completando gli esercizi. Domani torneremo anche a parlare della retta e del piano cartesiano!
CHE COS’È UN’EQUAZIONE. Le identità e le equazioni
La relazione
(a + 1)(a – 1) = a2 – 1
è un’uguaglianza vera per qualsiasi valore attribuito ad a. Quando affermiamo la validità di un’uguaglianza di questo tipo, scriviamo quella che si chiama “identità”.
DEFINIZIONE 1 :
Un’identità è un’uguaglianza fra due espressioni letterali vera per qualsiasi valore attribuito alle lettere.
Chiamiamo primo membro l’espressione a sinistra del segno di uguaglianza (=), secondo membro quella a destra.
Di solito sottintendiamo che l’insieme numerico in cui consideriamo vera un’identità è R, privato di eventuali valori per cui le espressioni letterali non hanno significato. In questo caso, dobbiamo scrivere le condizioni di esistenza (C.E.).
DEFINIZIONE 2 :
Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per la quale ci chiediamo se esistono valori che, sostituiti a una o più lettere, la rendono vera.
Chiamiamo:
- soluzioni o radici i valori, da attribuire alle lettere, che rendono uguali il primo e il secondo membro dell’equazione;
- incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni
CHE COS’È UN’EQUAZIONE : risoluzione delle equazioni
Quando diciamo di voler risolvere un’equazione, intendiamo dire che vogliamo TROVARE LE SUE SOLUZIONI:
Risolvere un’equazione vuol dire trovarne tutte le soluzioni, cioè individuare tutti gli elementi che appartengono all’insieme delle soluzioni dell’equazione.
Solitamente cercheremo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.
Per verificare se un numero è soluzione dell’equazione data, basta sostituirlo e calcolare separatamente i valori del primo e secondo membro, per controllare se sono uguali
Diversi tipi di equazioni
Diamo ora alcune definizioni
Un’equazione è intera se le incognite non compaiono nei denominatori. Se l’incognita compare anche al denominatore, allora diciamo che l’equazione è fratta (o frazionaria).
Ad esempio:
- 3x – 1 = 0 è un’equazione intera
- 6 + 1/x = 2 è un’equazione fratta, perché la x compare al denominatore della frazione 1/x.
Inoltre :
Un’equazione è numerica se non contiene altre lettere oltre alle incognite. Abbiamo un’equazione letterale quando oltre alle incognite compaiono anche altre lettere.
Le lettere che non sono incognite sono dette parametri e possono assumere qualsiasi valore nell’insieme numerico considerato.
Per esempio
- 4x- 1 = 7 è un’equazione numerica;
- 9x + 2a = 4a è letterale nell’incognita x, mentre a è un parametro.
CHE COS’È UN’EQUAZIONE: Equazioni determinate, indeterminate, impossibili
Un’equazione è:
- determinata se ha un numero finito di soluzioni;
- indeterminata se le soluzioni sono infinite;
- impossibile se non ha soluzioni.
Ad esempio
- 3x = 15 è determinata, con una sola soluzione: x = 5;
- 2x + 3x = 5x è indeterminata: l’uguaglianza è vera ⩝ x ∈ ℝ (il simbolo ⩝, che ricorda una A rovesciata, significa “per ogni”)
- x + 2 = x è impossibile (ovvero: non ha soluzioni)
EQUAZIONI EQUIVALENTI
Ricordiamo che :
Due equazioni nelle stesse incognite sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Per passare da un’equazione a una equivalente valgono DUE princìpi di equivalenza.
CHE COS’È UN’EQUAZIONE : Primo principio di equivalenza
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero, o espressione letterale, otteniamo un’equazione equivalente.
Per esempio l’equazione
3x + 3 = x
È equivalente a
3x + 3 –1 = x – 1
Abbiamo cioè sottratto da entrambi i membri dell’equazione 1. Otteniamo perciò l’equazione equivalente
3x + 2 = x – 1
Dal primo principio derivano DUE regole
1) Regola del trasporto :
Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da un membro all’altro CAMBIANDO IL SUO SEGNO
3x + 3 = x ⇒ applicando la regola del trasporto, portiamo la x dal secondo membro al primo membro, cambiando il suo segno.
Abbiamo: 3x + 3 – x = 0
ovvero: 2x + 3 = 0
2) Regola di cancellazione
Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se in entrambi i membri cancelliamo termini uguali.
Ad esempio:
3x + 1 = 2 + x + 1
Possiamo cancellare +1 da entrambi i membri.
Se infatti trasportassimo +1 del secondo membro al primo otterremmo:
3x + 1 -1 = 2 + x
Ovvero :
3x = x + 2
CHE COS’È UN’EQUAZIONE : Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero o espressione letterale diversi da zero, otteniamo un’equazione equivalente.
Dal secondo principio deriva la seguente regola
Regola del cambiamento di segno
Da un’equazione otteniamo un’equazione equivalente cambiando segno a tutti i suoi termini
In pratica è come se moltiplicassimo entrambi i membri dell’equazione per – 1. Prendiamo in considerazione l’equazione seguente
– x + 2 = – 3
Applichiamo la regola del cambiamento di segno:
(- x + 2) ∘ (- 1) = (- 3) ∘(- 1) è x – 2 =+3
Il secondo principio è utile anche quando:
- tutti i termini di un’equazione hanno un fattore comune;
8x + 16 = 24 ⇒ divido tutti i termini per 8 è x + 2 = 3
- ci sono termini con coefficienti frazionari e vogliamo ottenere coefficienti interi
Calcoliamo il m.c.m tra 2,4 e 3 :
m.c.m. (2,4,3) = 12
moltiplichiamo per 12 entrambi i membri dell’equazione :
Semplificando abbiamo
6x + 3 = 8
CHE COS’È UN’EQUAZIONE : FORMA NORMALE E GRADO
Se i membri di un’equazione nell’incognita x sono polinomi, utilizzando il primo principio di equivalenza, possiamo riscrivere l’equazione come un solo polinomio P(x) ridotto a forma normale e uguagliato a zero:
P(x) = 0.
In questo modo si ottiene la forma normale dell’equazione.
Il grado dell’equazione è il grado di P(x).
Per esempio l’equazione
5x2 + x -2 = 0
È un’equazione di SECONDO GRADO