Come mi hanno richiesto i miei ragazzi, sto cercando di parlarvi separatamente di tutti gli argomenti che rientrano in “PIANO CARTESIANO ED EQUAZIONE DELLA RETTA”.
Infatti in molti hanno difficoltà a recepire le varie regole, che vengono spesso presentate tutte insieme, senza possibilità di esercitarsi sulle singole parti.
Oggi parliamo di due argomenti simili, il punto medio di un segmento e il baricentro dei triangoli. E poi passeremo agli esercizi.
Purtroppo devo alternare lezioni per ragazzi di tutte le età e quindi salto spesso di palo in frasca, oltre al fatto che non posso stare troppo tempo davanti al PC. Ma basta chiacchiere e torniamo alla nostra lezione.
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO : DEFINIZIONE
Il punto medio di un segmento qualsiasi è il punto che ha la stessa distanza dagli estremi del segmento stesso.
Per calcolare le sue coordinate, xM e yM, del segmento AB, ci basta fare la media tra ascisse e ordinate degli estremi del segmento:
Si dice che xM è la semisomma delle ascisse e yM è la semisomma delle ordinate.
Facciamo un esempio.
Supponiamo di voler calcolare il punto medio del segmento AB, di coordinate
A (-2;1) e B (4;-3)
Applichiamo la regola :
- xM = ( -2 + 4) : 2 = 1
- yM = [1 + (-3)] : 2 = 1
Vediamo ora come si calcola il BARICENTRO di un TRIANGOLO.
Ricordiamo che in un triangolo, il baricentro è il PUNTO DI INCONTRO delle MEDIANE:
Per calcolare le sue coordinate, quindi, dovremo fare la media tra le coordinate x e y dei vertici del triangolo:
Insomma, niente di difficile!
Vediamo con un esempio. Supponiamo di voler calcolare il baricentro del triangolo ABC, di vertici:
A (0; -1)
B (6;2)
C (3;5)
Ci basta applicare semplicemente la regola:
- xG = ( 0+6+ 3) : 3 = 3
- yG =(-1+ 2 +5): 3 = 2
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: ESERCIZI
Vi lascio una serie di esercizi per calcolare il punto medio e il baricentro, oltre alla distanza tra due punti (lunghezza dei segmenti). Alcuni esercizi vi permetteranno anche di ripassare la Geometria!
ESERCIZIO 1
Determina le coordinate del punto medio del segmento AB che ha per estremi i punti con le seguenti coordinate.
- A(1/2, – 5), B(6; 4)
- A (1/3;-4), B (-1/2;1/2)
- A (-3;1/4), B (6;3/4)
- A(2/3;1/3), B (1/3;-1/3)
Dobbiamo semplicemente applicare la definizione e le formule:
Nel primo caso abbiamo :
- xM = ( 1/2 +6) : 2 = 13/4
- yM =(-5 + 4): 2 = – 1/2
ESERCIZIO 2
Dopo aver disegnato il triangolo ABC, di vertici
- A (-2;4)
- B (0;2)
- C (4;6)
determina i punti medi dei tre lati. Calcola quindi la misura delle mediane
Disegniamo innanzitutto il triangolo. Individuiamo così i tre lati AB, AC e BC.
Per ognuno calcoliamo il punto medio:
Per il LATO AB abbiamo
- xM (AB) = ( -2 +0) : 2 = -1
- yM (AB) =(4 +2): 2 = 3
Il punto medio di AB è quindi M(AB) = ( -1;3)
Per il LATO AC abbiamo
- xM (AC) = ( -2 +4) : 2 = 1
- yM (AC) =(4 +6): 2 = 5
Il punto medio di AC è quindi M(AC) = ( 1;5).
Infine, per il LATO BC abbiamo
- xM (BC) = ( 0 + 4 ) : 2 = 2
- yM (BC) =(2+6): 2 = 4
Il punto medio di BC è quindi M(BC) = ( 2;4).
Passiamo ora al calcolo delle mediane. Ricordiamo che, per calcolare le mediane, dobbiamo semplicemente calcolare la distanza tra il punto medio di un lato e il lato opposto a quel lato.
Abbiamo quindi :
- d(A,M(BC)) = 4
- d(B,M(AC)) = √10
- d(C,M(AB)) = √34
ESERCIZIO 3
Determina sull’asse y il punto EQUIDISTANTE da A (-3; 2) e B (-1; 3)
RISOLUZIONE:
Per trovare un punto equidistante da altri due, dobbiamo tradurre in linguaggio matematico le condizioni imposte al punto C. Deve essere infatti tale che :
- xC = 0 perché il punto deve appartenere all’asse y
- AC = BC
Dobbiamo quindi risolvere il sistema
Inserendo nella seconda equazione i valori dell’esercizio e svolgendo i calcoli, alla fine otteniamo:
La soluzione completa nel pdf allegato
ESERCIZIO 4
Verifica che il quadrilatero di vertici A(-3;-4); B (10; -4), C(15; 8), D (2; 8) è un rombo e determina la misura dell’area
ESERCIZIO 5
Verifica che il triangolo di vertici A (-2;-3), B (3; -1/2), C (-8;9) è rettangolo e poi verifica che la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa
ESERCIZIO 6
Verifica che il quadrilatero di vertici A (-2;3), B (1;-2), C (6;1), D (3;6) è un rettangolo
Nel pdf allegato la “lezione” e gli esercizi da stampare. Per le soluzioni cercherò di provvedere quanto prima!
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: la teoria
distanza tra due punti e punto medio esercizi
distanza tra punti e punto medio esercizi con soluzioni