DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO : parliamo oggi delle disequazioni di secondo grado, intere e frazionarie, ricordando che in questo tipo di disequazioni il grado massimo con cui compare la x è il secondo.

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO : Che cosa sono

Una disequazione di secondo grado nella variabile x si presenta, dopo aver applicato i princìpi di equivalenza, in una delle seguenti forme:

1. ax² + bx + c > 0
2. ax² + bx + c < 0
3. a^x2 + bx + c ≥ 0
4. ax² + bx + c ≤ 0

dove il coefficiente a di x² è considerato positivo. Ponendo ax² + bx + c = y, otteniamo i sistemi misti associati alle disequazioni.

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO : RISOLUZIONE GRAFICA

Nel piano cartesiano la prima equazione, y = ax² + bx + c, rappresenta una parabola. Per risolvere la disequazione è necessario determinare la concavità e le coordinate degli eventuali punti di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse.

Nel caso del sistema 1, la seconda relazione rappresenta il semipiano y > 0, cioè il semipiano delle ordinate positive, escluso l’asse delle ascisse. In questo caso, il sistema ammette come soluzione le coordinate (x; y) dei punti del piano che appartengono  alla parabola y = ax² + bx + c e che si trovano nel semipiano delle ordinate positive.

L’insieme delle soluzioni della disequazione è formato dalle ascisse dei punti che appartengono alla parabola e che si trovano nel semipiano delle ordinate positive.

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO : RISOLUZIONE ALGEBRICA

Per risolvere una disequazione di secondo grado, studiamo il segno del trinomio

ax² + bx + c

o meglio, la funzione

y = ax² + bx + c

che sappiamo rappresenta una parabola. Indicando con x₁ e x₂ le eventuali radici dell’equazione associata

ax² + bx + c = 0

otteniamo la seguente tabella con le possibili posizioni della parabola rispetto all’asse x. I segni + e – indicano gli intervalli in cui la parabola è sopra o sotto l’asse x e quindi anche dove il trinomio è positivo o negativo

Ragionando sui vari casi, notiamo che :

Quando l’equazione associata al trinomio ax² + bx + c , con a≠0, ha:

• Δ >0, il trinomio e il coefficiente a hanno
  • segno concorde per valori di x esterni all’intervallo delle radici;
  • segni discordi per valori di x interni all’intervallo delle radici;
• Δ= 0, il trinomio e il coefficiente a hanno segno concorde per tutti i valori di x diversi dalla radice dell’equazione;
• Δ < 0, il trinomio e il coefficiente a hanno segno concorde per ogni valore reale di x.

Lo studio del segno del trinomio ci permette quindi di risolvere agevolmente le disequazioni di secondo grado, che assumono la forma

ax² + bx + c ≷ 0

dove possiamo sempre supporre che sia a > 0.

Nella risoluzione di una disequazione di secondo grado, possiamo sempre riportarci al caso in cui il coefficiente a di x² è positivo: nel caso non lo sia, infatti, possiamo ottenere una disequazione equivalente, in cui a > 0, moltiplicando i due membri per -1 e cambiando il verso della disequazione.

In pratica

• Individuiamo gli zeri della funzione, trovando le soluzione dell’equazione associata
• Disegniamo la parabola, rispettando la sua posizione rispetto all’asse delle ascisse
• Scegliamo gli intervalli che rendono il trinomio positivo o negativo, a seconda del verso della disequazione

Valgono in effetti alcuni teoremi

TEOREMA 1 | Segno del trinomio di secondo grado con a > 0 e Δ > 0

Dato il trinomio ax² + bx + c, con a > 0, supponiamo che l’equazione associata ax² + bx + c = 0  abbia due soluzioni distinte, che chiamiamo x₁ e x₂, con x₁ < x₂. Allora il trinomio risulta:

1.  positivo negli intervalli esterni alle soluzioni, cioè per: x < x₁ ∨ x > x₂
2. nullo per: x = x₁  ∨ x = x₂
3. negativo nell’intervallo interno alle soluzioni, cioè per:x₁ < x < x₂

TEOREMA 2 | Segno del trinomio di secondo grado con a > 0 e Δ = 0

Dato il trinomio ax² + bx + c, con a > 0, supponiamo che l’equazione associata ax² + bx + c = 0, abbia due soluzioni coincidenti, x₁ = x₂.

Allora il trinomio risulta:

1. positivo per ogni x ∈ R, con x ≠ x₁
2. nullo per x = x₁

TEOREMA 3 | Segno del trinomio di secondo grado con a > 0 e Δ < 0

Dato il trinomio ax² + bx + c, con a > 0, supponiamo che l’equazione associata ax² + bx + c = 0, non abbia soluzioni reali. Allora il trinomio risulta positivo per ogni x ∈ R.

Risoluzione di una disequazione di secondo grado : l’algoritmo da seguire

Dai teoremi sul segno del trinomio di secondo grado possiamo quindi dedurre le soluzioni di qualsiasi disequazione di secondo grado. Per risolvere una disequazione di secondo grado, seguiremo il seguente algoritmo

• PRIMO passo: se il coefficiente di x² è negativo, cambiamo i segni e il verso della disequazione;
• SECONDO passo: calcoliamo il discriminante e le eventuali radici dell’equazione associata, in modo da capire a quale dei tre teoremi sul segno del trinomio faremo riferimento;
• TERZO passo: facendo riferimento al teorema opportuno, ricaviamo qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione.

Particolari disequazioni di grado superiore al secondo

Utilizzando lo schema risolutivo di una disequazione di secondo grado siamo in grado di risolvere disequazioni di grado superiore al secondo il cui polinomio può essere scomposto nel prodotto di due o più polinomi di primo e di secondo grado.

Se la disequazione non è già scritta come prodotto di due o più polinomi di primo e di secondo grado, per determinare l’insieme delle soluzioni:

• trasportiamo tutti i termini al primo membro;
• scomponiamo il polinomio al primo membro nel prodotto di polinomi di primo e di secondo grado;
• determiniamo i segni di ogni polinomio;
• prepariamo uno schema grafico risolutivo che permetta di confrontare i segni dei singoli polinomi sia per il numeratore che per l’eventuale denominatore.

Nel pdf allegato troverete molti esempi svolti

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO ESEMPI ED ESERCIZI

Bibliografia

• Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
• Sasso, C. Zanone – I colori della matematica  – Petrini
• Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli