Equazioni, disequazioni e funzioni sono tra i modelli matematici più utilizzati per risolvere problemi reali, provenienti dalle scienze o dall’ingegneria.
Studio di equazioni e disequazioni : ripassiamo
Ricordiamo innanzi tutto alcune definizioni:
Una disequazione è una disuguaglianza contenente almeno una variabile, detta incognita, di cui si cercano i valori per cui la disuguaglianza è vera
Inoltre chiamiamo:
- INTERA una disequazione in cui l’incognita non compare in alcun denominatore
- FRATTA (o frazionaria) una disequazione in cui l’incognita compare al denominatore
- LETTERALE o PARAMETRICA una disequazione in cui, oltre all’incognita, compare almeno un’ulteriore variabile, detta PARAMETRO
MEMBRI di una disequazione sono le espressioni che compaiono a sinistra o a destra del simbolo che indica il verso della disequazione (>, <, ≥ oppure ≤).
Risolvere una disequazione nell’incognita x significa determinare i numeri che, sostituiti alla x, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera: questi numeri costituiscono l’insieme delle soluzioni della disequazione.
A seconda che l’incognita compaia o meno sotto il segno di radice, le disequazioni possono essere
- RAZIONALI
- IRRAZIONALI.
Sono RAZIONALI le disequazioni in cui L’INCOGNITA non compare sotto il segno di RADICE.
Ad esempio:
Le DISEQUAZIONI IRRAZIONALI contengono l’INCOGNITA sotto il segno di RADICE. Ad esempio :
Si tratta di una disequazione irrazionale e fratta.
Studio di equazioni e disequazioni : disequazioni equivalenti e princìpi di equivalenza
Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
I princìpi di equivalenza che permettono di trasformare una disequazione in una disequazione a essa equivalente sono due:
1)Primo principio di equivalenza per le disequazioni
Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione un numero o un’e-spressione algebrica definita per tutti i valori delle variabili che vi compaiono si ottiene una disequazione equivalente a quella data
2) Secondo principio di equivalenza per le disequazioni
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una disequazione equivalente a quella data, a condizione di:
- mantenere lo stesso verso della disequazione se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per un numero positivo
- invertire il verso della disequazione se il numero per cui moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri è negativo
NOTA BENE : il secondo principio di equivalenza per le disequazioni riguarda la moltiplicazione o la divisione per un numero e non per un’espressione algebrica. L’estensione del secondo principio alle espressioni algebriche è possibile solo in un caso particolare: quando l’espressione algebrica risulta sempre positiva o sempre negativa.
Studio di equazioni e disequazioni: la rappresentazione delle soluzioni
La soluzione di una disequazione può essere scritta in diversi modi:
- per caratteristica : x > 1
- simbolicamente con gli intervalli : S = (1; + ∞)
- graficamente con un segmento o una semiretta
Studio di equazioni e disequazioni : gli intervalli
L’insieme delle soluzioni di una disequazione in una incognita si può generalmente descrivere tramite particolari insiemi, o loro unioni, detti intervalli.
Un intervallo può essere di due tipi:
- illimitato se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (intervallo illimitato inferiormente) o che lo seguono (intervallo illimitato superiormente);
- limitato se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri.
Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo sono detti estremi.
Rispetto a un estremo un intervallo può essere aperto, se non comprende l’estremo, o chiuso, se lo comprende.
I simboli +∞ e -∞ si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, ovvero nel verso delle ascisse positive o nel verso delle ascisse negative sulla retta reale.
Gli intervalli possono essere rappresentati sulla retta reale, cioè la retta dei numeri reali, poiché ad ogni punto della retta si può associare un numero.
Gli intervalli limitati sono rappresentati da segmenti, mentre quelli illimitati si rappresentano con semirette, o con l’intera retta reale
I simboli +∞ e -∞ si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, ovvero nel verso delle ascisse positive o nel verso delle ascisse negative sulla retta reale
I numeri compresi tra i due estremi dell’intervallo si dicono interni all’intervallo, mentre i numeri non compresi fra gli estremi si dicono esterni all’intervallo.
Se a e b sono gli estremi dell’intervallo, l’ampiezza dell’intervallo è data dal numero b – a
Studio di equazioni e disequazioni: disequazioni di primo grado
Le disequazioni intere di primo grado, o lineari, possono sempre essere scritte in una delle seguenti forme, dopo aver applicato i principi di equivalenza:
ax>b, ax=b, ax<b, ax<b, dove x è l’incognita e a, b ∊ℝ.
Risolvendo ax > b, otteniamo, a seconda dei valori di a, i casi in tabella
Studio di equazioni e disequazioni : Per saperne di più
Studio di equazioni e disequazioni : DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per risolvere una disequazione di secondo grado, studiamo il segno del trinomio
ax2 + bx + c
o meglio, la funzione
y = ax2 + bx + c
che sappiamo rappresenta una parabola. Indicando con x1 e x2 le eventuali radici dell’equazione associata
ax2 + bx + c = 0
otteniamo la seguente tabella con le possibili posizioni della parabola rispetto all’asse x. I segni + e – indicano gli intervalli in cui la parabola è sopra o sotto l’asse x e quindi anche dove il trinomio è positivo o negativo
Domani ritorneremo sull’argomento con maggiori dettagli
Bibliografia
- Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
- Sasso, C. Zanone – I colori della matematica – Petrini
- Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli