LE FUNZIONI definizione e grafico

LE FUNZIONI definizione e grafico

Ieri abbiamo detto che, dati due insiemi X e Y,  RELAZIONE è un procedimento che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi dell’insieme X (insieme di partenza) uno o più elementi dell’insieme Y (insieme di arrivo). Oggi definiamo alcune particolari relazioni. Vedremo come si rappresentano e quali sono i vari tipi

LE FUNZIONI definizione e grafico: DEFINIZIONE

Dati due insiemi X e Y, una RELAZIONE che associa ad ogni elemento x ∈ X un solo elemento y ∈ Y è una funzione e si scrive nella forma:

f : X →  Y

X si dice insieme dominio e X’ , sottoinsieme di X formato dagli elementi immagine, è detto insieme codominio.

Possiamo anche scrivere

y = f(x)

per evidenziare che la funzione “f” si può esprimere attraverso una legge matematica, che cambia di volta in volta, per esprimere il diverso legame che esiste fra le variabili x e y.

NOTA BENE :

La relazione g NON è una funzione: infatti all’elemento b di X NON è associato alcun elemento di Y

 

 

 

 

 

Nemmeno la relazione h è una funzione: infatti all’elemento d di X sono associati DUE elementi di Y

 

IN BREVE :

Una funzione è una relazione che associa a ogni elemento dell’insieme X un solo elemento dell’insieme Y.

X =dominio
Y = codominio
Y’ = INSIEME IMMAGINE (è l’insieme formato dagli elementi del codominio che hanno almeno una controimmagine nel dominio).

FUNZIONE BIUNIVOCA

Una funzione in cui ogni elemento del codominio ha un’unica controimmagine si dice biunivoca

Invece

la funzione g NON è biunivoca. Infatti a w NON è associato nessun elemento del dominio

neanche h è una funzione biunivoca: all’elemento z di Y corrispondono due controimmagini!

 

Fra  i  vari  tipi  di  funzioni  sono fondamentale quelle che  hanno  come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali, dette funzioni reali di variabile reale

Una funzione reale di variabile reale è una funzione che ha come dominio e codominio sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali.

f : R →  R

Nell’equazione di una funzione:

y = f (x)

con la lettera x indichiamo un generico elemento del dominio, mentre con la lettera y intendiamo l’elemento che la funzione fa corrispondere a x. Siccome le lettere x e y rappresentano elementi che possono variare, esse sono dette VARIABILI.

RICORDA :

• possiamo dare alla variabile x un QUALSIASI valore scelto nel dominio;
• alla variabile y invece NON possiamo dare un valore arbitrario. Infatti il valore assunto da y DIPENDE da quello che abbiamo assegnato alla x.

Per questo motivo

x è chiamata variabile indipendente mentre y è detta variabile dipendente

LE FUNZIONI definizione e grafico : LE FUNZIONI POLINOMIALI

Le funzioni definite da una legge del tipo:

y=P(x)

con P(x) = polinomio,

sono dette polinomiali. Per esempio, la funzione

y=3x⁴− 5x²+ 1  è una funzione polinomiale

LE FUNZIONI definizione e grafico : IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Il metodo più utilizzato per rappresentare una funzione reale di variabile reale è il diagramma cartesiano, detto anche GRAFICO della funzione.

RICORDA : si chiama GRAFICO di una funzione l’insieme

{(x, f (x)| x∊D}

con D = dominio della funzione.

In realtà quasi sempre quando parliamo di grafico di una funzione intendiamo la rappresentazione del grafico nel piano cartesiano:

 

 

 

NOTA BENE : nel piano cartesiano, il grafico di una funzione (reale di variabile reale) è tale se ogni retta verticale (parallela all’asse y) lo interseca al massimo in un punto (tale proprietà segue dalla definizione stessa di funzione).

Per saperne di più sul PIANO CARTESIANO, clicca QUI

Qui ricordiamo semplicemente che si chiama PIANO CARTESIANO in cui abbiamo fissato un asse x, un asse y e due unità di misura sugli assi.

Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti :

Possiamo  rappresentare sul piano cartesiano una coppia ordinata (x, y) di numeri reali.  Dobbiamo:

• rappresentare il punto P₁,corrispondente a x sull’asse delle ascisse, e il punto P₂  , che corrisponde a y, sull’asse delle ordinate.
• tracciare da P₁ la parallela all’asse y e da P₂ la parallela all’asse x:

Alla coppia  (x, y)  corrisponde il punto di intersezione P di tali parallele.

I numeri reali x e y della coppia ordinata  (x, y)  sono detti ascissa e ordinata del punto corrispondente P.

Inoltre ricordiamo che ascissa e ordinata di P sono dette COORDINATE di P; per indicare che il punto P ha coordinate  (x, y)  scriveremo

P(x, y)

Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali.

Domani ci occuperemo dei vari tipi di funzione, quindi parleremo delle funzioni più importanti.