GLI INTERVALLI
Un intervallo può essere di due tipi:
- illimitato se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (intervallo illimitato inferiormente) o che lo seguono (intervallo illimitato superiormente);
- limitato se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri.
Il numero o i numeri con i quali inizia o termina l’intervallo sono detti estremi.
Rispetto a un estremo un intervallo può essere aperto, se non comprende l’estremo, o chiuso, se lo comprende.
I simboli +∞ e -∞ si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, ovvero nel verso delle ascisse positive o nel verso delle ascisse negative sulla retta reale.
Gli intervalli possono essere rappresentati sulla retta reale, cioè la retta dei numeri reali, poiché ad ogni punto della retta si può associare un numero.
Gli intervalli limitati sono rappresentati da segmenti, mentre quelli illimitati si rappresentano con semirette, o con l’intera retta reale
I simboli +∞ e -∞ si leggono più infinito e meno infinito e si usano per indicare che un intervallo è illimitato a destra o a sinistra, ovvero nel verso delle ascisse positive o nel verso delle ascisse negative sulla retta reale
I numeri compresi tra i due estremi dell’intervallo si dicono interni all’intervallo, mentre i numeri non compresi fra gli estremi si dicono esterni all’intervallo.
Se a e b sono gli estremi dell’intervallo, l’ampiezza dell’intervallo è data dal numero b – a
Vediamo insieme i vari tipi di intervallo e le loro rappresentazioni
GLI INTERVALLI : i vari tipi
Intervalli aperti
si indicano con (a, b), con gli estremi a e b non compresi; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori di a e minori di b.
Possiamo anche scrivere un intervallo aperto con la seguente notazione :
a < x < b
ATTENZIONE : sono limitati perché agli estremi compaiono sempre dei valori FINITI!!!
Intervalli chiusi
si indicano con [a, b], con gli estremi a e b compresi; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori o uguali di a e minori o uguali di b.
In alternativa, possiamo indicare gli intervalli chiusi, che comprendono entrambi gli estremi, come :
a ≤ x ≤ b
Intervalli semichiusi
Sono intervalli in cui solo uno dei due estremi è compreso nell’intervallo; possono essere di due tipi:
⇒ Intervalli chiusi a sinistra e aperti a destra
si indicano con [a; b), con a estremo compreso e b estremo non compreso; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori o uguali di a e minori di b.
Possiamo anche scrivere :
a ≤ x < b
⇒ Intervalli chiusi a destra e aperti a sinistra
si indicano con (a; b], con a estremo non compreso e b estremo compreso; rappresentano l’insieme dei numeri maggiori di a e minori o uguali di b.
Ovvero :
a< x ≤ b
Intervalli illimitati
Gli intervalli illimitati possono essere costituiti da semirette, ed essere quindi aperti o chiusi, o dall’intera retta reale. In pratica, un intervallo è ILLIMITATO se ad uno dei due estremi (oppure ad entrambi) compare il simbolo di infinito ∞
⇒ Intervallo illimitato a destra e aperto a sinistra (illimitato superiormente):
lo indichiamo con (a;+∞) ed è costituito dai numeri maggiori di a, che è un estremo non incluso
(a;+∞) = { x ∈R | x > a}
⇒ Intervallo illimitato a destra e chiuso a sinistra (illimitato superiormente)
lo indichiamo con [a;+∞) ed è costituito dai numeri maggiori o uguali di a, che è un estremo incluso. Graficamente :
→ Intervallo illimitato a sinistra e aperto a destra (illimitato inferiormente)
si indica con (−∞;b) ed è costituito dai numeri minori di b, che è un estremo non incluso. Possiamo anche scrivere:
(−∞;a) = { x ∈R⎪x < a}
→ Intervallo illimitato a sinistra e chiuso a destra (illimitato inferiormente)
si indica con
(−∞; a ]
ed è costituito dai numeri minori o uguali di a, che è un estremo incluso.
(−∞; a ] = { x ∈R⎪x ≤ a}
→ Intervallo illimitato sia a sinistra che a destra (illimitato superiormente e inferiormente)
si indica con
(−∞;+∞)
e rappresenta tutto l’insieme dei numeri reali.
Bibliografia
- Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
- Sasso, C. Zanone – I colori della matematica – Petrini
- Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli