Forma esponenziale dei numeri complessi

Forma esponenziale dei numeri complessi : con l’argomento di oggi concludiamo finalmente il nostro tempo dedicato all’insieme dei Complessi, i miei numeri preferiti! Infatti come abbiamo visto nella prima lezione ad essi dedicata, questi numeri comprendono tutti gli altri! Ed allora mettiamoci subito al lavoro, per passare ad altri argomenti interessanti. Credo che fino a Natale continueremo ad occuparci di Matematica ma poi non vedo l’ora di dedicarmi a nuovi temi…

Forma esponenziale dei numeri complessi

Abbiamo visto che i complessi si possono esprimere in vari modi:

• FORMA ALGEBRICA :
  

  z = a ± bi = Re z + Im z

• FORMA TRIGONOMETRICA :
  

  z = r (cos θ +i sin θ) con r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π.

Oltre che in forma algebrica e trigonometrica, possiamo rappresentare i numeri complessi anche in forma esponenziale. La forma esponenziale risulta più concisa e facilita i calcoli rispetto alla forma trigonometrica. Per introdurre la forma esponenziale di un numero complesso, il primo passo consiste nel definire l’esponenziale di un numero immaginario. 

Dato un numero immaginario puro, che indichiamo con iθ, definiamo:

e^iθ= cos θ+ i sin θ (prima formula di Eulero)

Consideriamo ora un qualsiasi numero complesso z posto in forma trigonometrica:

 z=r (cos θ+i sin θ).

Confrontando con la prima formula di Eulero, vediamo che risulta:

z = re^iθ.

Sussiste quindi la seguente definizione della FORMA ESPONENZIALE DI UN NUMERO COMPLESSO:

Sia z un numero complesso, di modulo r e argomento θ; si dice che z è espresso in forma esponenziale quando è espresso nella forma

z = re^iθ

Con questa notazione possiamo scrivere le formule che derivano dai teoremi sul prodotto e sul quoziente di numeri complessi in forma trigonometrica e la formula di De Moivre nelle seguenti forme :

r₁e^iθ₁ · r₂ e ^iθ₂ = r₁r₂ e ^i(θ₁^+iθ₂⁾       MOLTIPLICAZIONE NUMERI COMPLESSI

     DIVISIONE NUMERI COMPLESSI

(re^iθ)ⁿ = rⁿe^iθn             FORMULA DI DE MOIVRE

Nel caso in cui θ = π, la prima formula di Eulero ci dà

e^iπ = cos π +i sin π = −1

ossia:

e ^iπ + 1 = 0

Questa formula ci fornisce un legame tra i cinque numeri più importanti della matematica: 0, 1, π, e, i.

Forma esponenziale dei numeri complessi : LE ALTRE FORMULE DI EULERO

Dalla prima formula di Eulero possiamo ottenere la SECONDA FORMULA DI EULERO, ponendo –θ al posto di θ:

e^-iθ= cosθ- i sin θ

Infine, sommando e sottraendo membro a membro la prima e la seconda formula e dividendo, rispettivamente, per 2 e per 2i, otteniamo la terza e la quarta formula di Eulero:

Nel pdf allegato troverete una rapida sceda che racchiude tutto quanto detto sui numeri complessi in forma sintetica!

NUMERI COMPLESSI IN BREVE

ARTICOLI CORRELATI

• Che cosa sono i numeri complessi
• operazioni con i numeri immaginari
• addizione e sottrazione con i numeri complessi
• moltiplicazione
• divisione
• vettori e numeri complessi
• coordinate polari
• forma trigonometrica dei numeri complessi
  • potenze con i complessi
  • radici con i complessi
• forma esponenziale e formule di Eulero
• Equazioni in C – Teorema fondamentale dell’algebra

Bibliografia

• Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
• Sasso, C. Zanone – I colori della matematica  – Petrini
• Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli