EQUAZIONI NEL CAMPO DEI COMPLESSI

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EQUAZIONI NEL CAMPO DEI COMPLESSI: ci siamo. Finalmente arriviamo al punto da cui siamo partiti per introdurre i numeri complessi. Abbiamo infatti detto che il campo dei numeri complessi è il più idoneo per trattare le equazioni algebriche: non solo ogni equazione algebrica ammette soluzioni in C, ma nell’insieme dei numeri complessi c’è anche regolarità tra il numero delle soluzioni di un’equazione e il suo grado (cosa che non accadeva nell’insieme dei reali dove, per esempio, un’equazione di terzo grado poteva ammettere una sola soluzione oppure ammetterne tre). Vediamo quindi due importanti concetti: la molteplicità delle soluzioni e il teorema fondamentale dell’algebra.

EQUAZIONI NEL CAMPO DEI COMPLESSI : molteplicità di una soluzione e teorema fondamentale dell’algebra

Diamo innanzitutto una definizione

Sia P(z) = 0 un’equazione polinomiale e z0 una sua soluzione (o ZERO). Si dice molteplicità di z0 l’esponente della più alta potenza di (z – z0) che compare nella scomposizione di P(z).

Possiamo ora enunciare un teorema così importante da essere definito “fondamentale”:

Teorema fondamentale dell’algebra

Un’equazione polinomiale della forma:

anzn + … + a1z + a0 = 0 con an ≠ 0 con coefficienti complessi

ha esattamente n soluzioni in C, ciascuna di esse contata con la sua molteplicità.

Non forniremo la dimostrazione di questo teorema, che di solito viene studiata nei corsi di Analisi all’università, dal momento che richiede alcune conoscenze che ancora non avete acquisito (funzioni olomorfe, cioè funzioni di numeri complessi e il teorema di Liouville che ad esse si applica).

CURIOSITA’: il teorema fu enunciato nel 1629 dal matematico di origine fiamminga Albert Girardma fu solo nel 1799 cheGauss riuscì a dimostrarlo, sfruttando i tentativi di numerosi predecessori

Vediamo ora di capire come funziona questo teorema applicandolo alle equazioni di secondo grado

EQUAZIONI NEL CAMPO DEI COMPLESSI

Come abbiamo già detto, l’introduzione dell’unità immaginaria ci permette di trovare soluzioni complesse di qualsiasi equazione di secondo grado a coefficienti in C. Infatti qualsiasi numero complesso w possiede due radici quadrate in C (eventualmente coincidenti, se w = 0).

Sappiamo anche che qualsiasi numero complesso w possiede esattamente n radici n-esime in C, con n ∈ N −{0} (eventualmente coincidenti, se w = 0).  Grazie al teorema fondamentale dell’algebra possiamo infine affermare che:

una qualsiasi equazione polinomiale di grado n a coefficienti in C possiede esattamente n soluzioni complesse, contate con la rispettiva molteplicità.

Ovvero: ogni equazione polinomiale di grado n ammette soluzioni in C, a differenza di quanto avviene in R.

NOTIAMO che il teorema fondamentale dell’algebra assicura l’esistenza delle soluzioni di un’equazione algebrica in C, ma NON ci dice COME determinare esplicitamente tali soluzioni

EQUAZIONI NEL CAMPO DEI COMPLESSI: Equazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado a coefficienti complessi, del tipo

az2 + bz + c = 0

si può risolvere in C con la stessa formula valida in R:

A differenza di quanto accade in R, però, adesso sappiamo che l’equazione ha sempre due soluzioni in C, anche quando il discriminante è negativo. Infatti:

  • se Δ ≠ 0, l’equazione ha due soluzioni semplici, ovvero
    • due radici appartenenti a R se Δ > 0
    • due radici appartenenti a C se Δ < 0;
  • se Δ= 0, l’equazione ha due soluzioni coincidenti, ovvero ha una soluzione con molteplicità 2.

In entrambi i casi, in accordo al teorema fondamentale dell’algebra, la somma delle molteplicità delle soluzioni è uguale a 2, cioè uguale al grado dell’equazione.

EQUAZIONI NEL CAMPO DEI COMPLESSI: Equazioni del tipo zn = a

Consideriamo un’equazione del tipo zn = a, nell’incognita z, con n intero positivo e a ∈ C.

Per risolvere in C questa equazione, dobbiamo determinare le radici n-esime complesse di a. Abbiamo che:

  • se a = 0, l’equazione zn = 0,  ha come unica soluzione z = 0, con molteplicità n;
  • se a ≠ 0, per il Teorema fondamentale dell’algebra l’equazione zn = a ha n soluzioni semplici, vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nella circonferenza avente centro nell’origine e raggio .

In entrambi i casi, per il teorema fondamentale dell’algebra, la somma delle molteplicità delle radici dell’equazione zn = a è uguale a n, cioè al grado dell’equazione.

NOTA BENE: in base al teorema fondamentale dell’algebra (e al teorema  di  Ruffini,  che continua a valere per polinomi a coefficienti complessi), ogni polinomio

P(z) = anzn + … + a1z + a0

con a0, a1, …, an∈ C

è scomponibile nel prodotto di n fattori di primo grado, di cui alcuni eventualmente uguali a seconda della molteplicità  delle  radici.

Di conseguenza, in  C gli unici polinomi irriducibili  sono i binomi di primo grado: ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 2 è riducibile!

CONSEGUENZE TEOREMA FONDAMENTALE

Abbiamo visto che in R i polinomi di primo grado sono irriducibili e quelli di secondo grado sono riducibili se e solo se il discriminante dell’equazione associata è maggiore o uguale a zero. Nulla abbiamo potuto dire in generale per i polinomi di grado maggiore. Ora, in C, possiamo dedurre, invece dei risultati generali. Vale infatti il seguente teorema

TEOREMA | Zeri coniugati per polinomi a coefficienti in R

Sia P(z) = anzn + … + a1z + a0 un polinomio a coefficienti reali. . Se z0 è uno zero complesso del polinomio, anche il suo coniugato è uno zero del polinomio.

Da questo teorema discende che

Ogni polinomio a coefficienti reali si scompone in R nel prodotto di binomi di primo grado e di trinomi di secondo grado con discriminante negativo.

Consideriamo infatti la scomposizione del polinomio in fattori di primo grado in C cui certamente si giunge per il teorema fondamentale dell’algebra; in essa compariranno:

  • fattori che danno luogo a zeri reali, che generano un prodotto di binomi di primo grado;
  • fattori che danno luogo a zeri complessi non reali, che generano un prodotto di trinomi di secondo grado con discriminante negativo.

Di conseguenza, gli unici polinomi a coefficienti reali irriducibili in R sono i binomi di primo grado e i trinomi di secondo grado con discriminante negativo

Nel pdf allegato troverete molti esercizi sulle equazioni in C, che spero di riuscire a fornirvi di svolgimento quanto prima

Esercizi con equazioni complesse

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