RADICI CON I NUMERI COMPLESSI

cRADICI CON I NUMERI COMPLESSI : abbiamo visto come sia facile calcolare le potenze dei numeri complessi applicando il teorema di DE MOIVRE:

Dato un numero complesso z=r (cos q+i sin q) e un intero positivo n, vale la formula:

zⁿ=rⁿ(cos nθ+i sin nθ)

Come già detto, tale formula prende il nome dal matematico francese Abraham de Moivre (Vitry-le-François, 26 maggio 1667 – Londra, 27 novembre 1754), amico di Isaac Newton e di Edmund Halley. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676.

Vediamo ora come questo stesso teorema ci consenta di calcolare facilmente anche le radici dei numeri complessi

RADICI CON I NUMERI COMPLESSI : definizione di radice n-sima di un numero complesso

Come dicevamo, applicando il teorema di De Moivre, possiamo trovare una formula che ci permette di trovare le radici n-esime di un numero complesso. Ma dobbiamo prima stabilire che cosa intendiamo per radice n-esima di un numero complesso, estendendo anche a C la definizione data in R.

DEFINIZIONE : Dato un numero complesso w e un intero positivo n, diremo che z è una radice n-esima (complessa) di w se risulta

zⁿ = w

RADICI CON I NUMERI COMPLESSI: la formula di De Moivre

Supponiamo di conoscere la forma trigonometrica di w :

w=ρ(cos φ+i sin φ)

Per la definizione data, le radici n-esime di w sono i numeri complessi

 z= r (cos q+i sin q)

tali che

zⁿ = w.

Applicando il teorema di De Moivre, la condizione zⁿ = w si traduce nell’equazione:

Osserviamo che ai due membri di questa equazione abbiamo due numeri complessi scritti in forma trigonometrica; l’equazione sarà soddisfatta se e solo se i due numeri complessi ai due membri hanno lo stesso modulo e argomento che differisce per multipli di 2π. Otteniamo cioè le condizioni:

rⁿ = ρ    e    nθ=φ+ 2kπ,    con    k∈Z

da cui

Come vediamo, il modulo delle radici n-esime complesse di w è costante, uguale a ρⁿ; l ’a rgomento  invece  varia  al  variare  di  k ∈ Z  ma  dà  luogo soltanto a un numero finito di radici complesse di w: precisamente a n radici complesse distinte. Sussiste infatti il teorema seguente.

RADICI CON I NUMERI COMPLESSI: TEOREMA | Radici di un numero complesso

Sia w=ρ(cos φ+i sin φ) un numero complesso e n un intero, con n ≥ 1. Esistono esattamente n radici n-esime complesse z₀, z₁, …, z _n–1 di w; tali radici si ottengono dalla formula:

ponendo, successivamente, k = 0, 1, …, n – 1.

Valgono inoltre le seguenti osservazioni

• se k  è  un numero reale positivo, le radici quadrate di –k sono ±i√k; in simboli:

−k= ±i√k    per ogni k∈R⁺ Nell’insieme C

• le due radici quadrate di un numero complesso sono sempre tra loro opposte

RADICI CON I NUMERI COMPLESSI: Esempio 1

Vogliamo calcolare le radici cubiche del numero complesso w = 1; scriviamo w in forma trigonometrica

Essendo ρ = 1 e φ = 0,  le radici cubiche dell’unità si ottengono dalla formula

ponendo k = 0, 1, 2, otteniamo le tre radici

Rappresentando le radici trovate nel piano di Gauss notiamo che esse sono i vertici di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio 1

 

 

 

 

 

 

 

RADICI CON I NUMERI COMPLESSI: osservazioni

La disposizione delle radici nel piano di Gauss vista nell’esempio precedente non è casuale. Infatti:

• le radici n-esime di un numero complesso w, di modulo ρ, hanno tutte lo stesso modulo, uguale a   quindi  appartengono  alla  circonferenza  avente  centro nell’origine e raggio ;
• gli argomenti delle n radici differiscono l’uno dall’altro per un n-esimo di un angolo giro (infatti si ottengono a partire da φ/n, aggiungendo ogni volta 2π/n) quindi sono i vertici del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza

ESEMPIO 2

Vediamo come, calcolando la radice quarta di 1, otteniamo un quadrato. Infatti applicando la formula precedente otteniamo:

Sostituendo k= 0,1, 2, 3 otteniamo

Possiamo disegnare tali radici nel piano di Gauss, considerando la circonferenza di raggio 1, tenendo presente che

I punti che rappresentano le radici sono i vertici di un quadrato:

OSSERVAZIONE

È possibile (anche se raramente consigliabile) determinare le radici quadrate di un numero complesso per via algebrica. Per esempio, le radici di –4i si possono trovare risolvendo l’equazione z = –4i. Posto z = a + bi, dobbiamo trovare a e b in modo che (a + bi) = –4i.Ciò riconduce al sistema

a−b=0

2ab=−4

che ha come soluzioni: a=−2, b=2  e a=2, b=−2

Abbiamo ritrovato i risultati ottenuti con il Teorema precedente.

Nel pdf allegato troverete numerosi esercizi per allenarvi con questa parte della teoria. Spero di riuscire a postarvi quanto prima anche gli esercizi svolti

numeri complessi esercizi sulle radici

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Bibliografia

• Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
• Sasso, C. Zanone – I colori della matematica  – Petrini
• Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli