ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI NUMERI COMPLESSI

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI NUMERI COMPLESSI : dopo aver introdotto i numeri complessi e aver visto come si eseguono le operazioni con i numeri immaginari, da oggi ci occupiamo delle operazioni con i numeri complessi. Iniziamo da addizione e sottrazione, vedendo come si eseguono queste operazioni con i numeri complessi espressi nella loro forma algebrica

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA

⇒ ADDIZIONE

z + z’ = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i.

In generale, la somma di due numeri complessi è un numero complesso che ha:

• parte reale data dalla somma delle parti reali;
• coefficiente della parte immaginaria dato dalla somma dei coefficienti delle parti immaginarie.

OSSERVAZIONE:

• La somma di due numeri complessi CONIUGATI (cioè di numeri complessi aventi la stessa parte reale ma parte immaginaria opposta) è un numero reale doppio della parte reale degli addendi. Infatti

(a + bi ) + (a – bi ) = (a + a) + (b -b) i = 2a.

• La somma di due numeri complessi OPPOSTI (cioè di numeri complessi che hanno sia la parte reale sia la parte immaginaria opposte) è ZERO. Infatti :

(a + bi ) + (- a – bi ) = (a -a) + (b -b) i =  0

• Naturalmente anche nell’insieme C, l’operazione  di  addizione è COMMUTATIVA e ASSOCIATIVA.
• L’elemento neutro è la coppia ordinata (0, 0).

⇒ SOTTRAZIONE

z- z’ = (a + bi ) – (c + di ) = (a – c) + (b – d )i.

La differenza fra due numeri complessi è un numero complesso che ha:

• per parte reale la differenza delle parti reali;
• per coefficiente della parte immaginaria la differenza dei coefficienti delle parti immaginarie.

OSSERVAZIONE:

• Ogni elemento (a, b) ammette come opposto l’elemento (–a, –b)  e quindi anche in C la sottrazione può essere vista come l’operazione inversa dell’addizione o come una somma tra il primo numero e l’opposto del secondo.
• La differenza fra due numeri complessi CONIUGATI è un numero immaginario che ha per coefficiente il doppio del coefficiente della parte immaginaria del minuendo. Infatti:

(a + bi) – (a – bi) = a + bi – a + bi = 2bi

Interpretazione geometrica di addizione e sottrazione in C

Come sappiamo, un numero complesso z = a + bi può essere visto come  un  punto  nel  piano  di  Gauss. Esso può anche essere interpretato  come  vettore,  applicato  nell’origine  O(0, 0), avente come secondo estremo il punto P(a, b).

Questa osservazione consente di interpretare geometricamente le operazioni di addizione e sottrazione tra numeri complessi. Infatti:

Dati due numeri complessi z₁ e z₂, si può dimostrare che:

• il vettore che rappresenta z₁ + z₂ è la somma, eseguita secondo la nota regola del parallelogramma, dei vettori che rappresentano z₁ e z₂;
• il vettore che rappresenta z₂ – z₁ è la differenza dei vettori che rappresentano z₂ ez₁

Con semplici considerazioni geometriche, possiamo dimostrare che il quadrilatero che ha come vertici l’origine e i punti che rappresentano z₁ + z₂ e z₂ – z₁ è un parallelogramma. Risulta perciò che la distanza tra i punti che rappresentano z₁ e z₂ è uguale al modulo del numero complesso z₂ – z₁

Possiamo perciò definire facilmente la DISTANZA tra due punti nel piano di Gauss:

Dati i due numeri complessi z e w, la DISTANZA fra i due punti che rappresentano z e w nel piano di Gauss è espressa dal modulo del numero complesso z – w, cioè da
| z – w|.

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI NUMERI COMPLESSI : esempi

Svolgiamo insieme alcuni esercizi su somma e differenza tra numeri complessi.

ESEMPIO 1

Vogliamo ad esempio calcolare

(4 + 2i) + (4 – 2i).

Siccome i due numeri sono CONIUGATI, avendo stessa parte reale ma parte immaginaria OPPOSTA, allora sappiamo che la loro somma è pari al DOPPIO delle parti reali:

(4 + 2i) + (4 – 2i) = 8

ESEMPIO 2

Calcoliamo ora la seguente somma:

(6 – 3i) + (- 6 + 3i)

Essendo i due numeri dati OPPOSTI, la loro somma è ZERO :

(6 – 3i) + (- 6 + 3i) = 0

ESEMPIO 3

Proviamo ora a calcolare la seguente espressione:

(- 9 – i) + (2 + i) – (- 5 + 2i).

Svolgiamo le operazioni nell’ordine con cui si presentano. Sommiamo i primi due numeri e poi sottraiamo dalla loro somma il terzo numero:

[(- 9 – i) + (2 + i)] – (- 5 + 2i) = [(-9 + 2) + (-1 + 2) i]- (-5 +2i) =  (-7 +i) – (-5 +2i) = (-7 + 5) + (i -2i) = -2 -i

Possiamo però procedere più velocemente ricordando che la sottrazione può essere vista come una somma. Ci basta quindi sommare tutte le parti reali e tutte le parti immaginarie:

(- 9 – i) + (2 + i) – (- 5 + 2i) = (-9 +2 + 5) + (-i + 2i – 2i) = -2 – i

che è il risultato ottenuto anche prima.

Ora tocca a voi esercitarvi!

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI NUMERI COMPLESSI : bibliografia

• Gabriella Cariani, Mariapia Fico, Salvatore Mattina, Ileana Pelicioli- Matematica c.v.d. Calcolare, valutare, dedurre. Ediz. blu– Loescher editore, 2019
• Sasso, C. Zanone – I colori della matematica  – Petrini
• Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli

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