Abbiamo sinora parlato solo di disequazioni di primo grado e solo dopo aver parlato delle equazioni di secondo grado ci occuperemo delle disequazioni di grado superiore.
Lo faremo la prossima settimana, almeno spero. Intanto però voglio accennarvi a delle particolari disequazioni, che, mediante scomposizione, si possono ricondurre a prodotto di fattori di primo grado.
L’argomento ci tornerà utile anche in seguito, per cui cominciamo subito con questo nuovo genere.
DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI AL PRIMO GRADO. La risoluzione
Come abbiamo visto anche in precedenza, risolvere una disequazione, di qualsiasi grado, significa ricondurla alla forma :
- P(x) > 0
- P(x) < 0
dove P (x) è un polinomio di grado qualsiasi contenente l’incognita x.
Supponiamo che P(x) sia un prodotto di polinomi di primo grado.
Per trovare la soluzione della disequazione, dobbiamo studiare il segno dei singoli fattori che compongono il polinomio dato.
Riportiamo poi in un quadro riassuntivo i risultati ottenuti.
In pratica: tracciamo uno schema grafico che riassume il variare dei segni dei polinomi fattori, disegnando delle linee parallele
- continue in corrispondenza dei valori di x per cui il rispettivo fattore è positivo
- tratteggiate in corrispondenza dei valori di x per cui il fattore corrispondente è negativo.
In prossimità degli eventuali zeri dei polinomi:
- se esclusi dal segno di disuguaglianza, perché strettamente “ > “ oppure “ < “, metteremo un pallino vuoto;
- se inclusi metteremo invece un asterisco
Per ogni intervallo che individueremo sulla retta dei numeri, andremo ad applicare la regola del prodotto dei segni, in modo da determinare l’insieme delle soluzioni della disequazione.
Sembra tutto difficile? Tranquilli : con gli esempi svolti capirete che è invece tutto molto semplice.
DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI AL PRIMO GRADO. Esempi svolti
ESEMPIO 1:
Dobbiamo risolvere la disequazione
3x 2 – 6x > 0
Pur essendo una disequazione di secondo grado, possiamo ricondurla ad un PRODOTTO di FATTORI di PRIMO GRADO.
Mettiamo in evidenza 3x :
3 x (x – 2) > 0
Possiamo dividere entrambi i membri per 3 ed abbiamo:
x (x – 2) > 0
Abbiamo scritto la nostra disequazione sotto forma di un prodotto i cui fattori sono:
- x
- x – 2
entrambi di primo grado.
Noi dobbiamo cercare i valori di x che rendono la disequazione maggiore di zero, cioè positiva.
Studiamo separatamente i due fattori, ovvero impostiamo le disequazioni:
- x > 0
- x -2 >0
Otteniamo
- x > 0
- x> 2
Riportiamo entrambi i valori sull’asse dei numeri reali e poi, per ciascun fattore, tracciamo la linea delle soluzioni, ricordando che rispetteremo le seguenti convenzioni grafiche:
- LINEA CONTINUA rappresenta i valori dell’incognita che rendono POSITIVA la disequazione;
- LINEA TRATTEGGIATA rappresenta i valori dell’incognita che rendono NEGATIVA la disequazione
Tracciamo la linea relativa a x > 0 :
Uniamo anche la linea del secondo fattore
I valori delle soluzioni dividono il campo dei reali in tre insiemi. Per la regola dei segni, otteniamo :
A noi interessano gli intervalli in cui la disequazione è positiva, per cui :
x < 0 ∨ x > 5
ovvero:
S = (- ∞; 0) ∪ (2; +∞)
ESEMPIO 2 :
risolviamo la disequazione
x3 + 2x2 – 9 x – 18 < 0
Effettuando un raccoglimento parziale otteniamo
x2 (x+2) -9 (x+2) < 0
Con un raccoglimento totale :
(x+2) (x2 – 9) < 0
Il secondo termine è un prodotto notevole, per cui :
(x + 2) (x+3) (x-3) < 0
RICORDA : PER LO STUDIO DEI SEGNI SI STUDIA SEMPRE LA DISEGUAGLIANZA POSITIVA.
Studiamo il segno dei singoli fattori :
- x+2 > 0
- x + 3 > 0
- x- 3 > 0
Otteniamo
- x> -2
- x > -3
- x > 3
Compiliamo ora il quadro riassuntivo dei segni
Come vedete, abbiamo individuato quattro intervalli : due nei quali il prodotto dei vari fattori è positivo e due in cui è invece negativo.
A noi interessano gli intervalli in cui la disequazione è negativa, per cui la nostra soluzione è
x < -3 V -2 < x < 3
ovvero : S = (- ∞; -3) ∪ (- 2; 3)