CONNETTIVI LOGICI
Ieri abbiamo iniziato ad occuparci dell’ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI. Oggi finalmente entriamo nel “vivo” della questione, introducendo i CONNETTIVI LOGICI “di base”: negazione, congiunzione e disgiunzione. Domani poi parleremo di implicazione e doppia implicazione.
CONNETTIVI LOGICI : CHE COSA SONO
RICORDATE? Ieri abbiamo detto che
- Una PROPOSIZIONE è una frase di senso compiuto di cui possiamo stabilire se è VERA o FALSA
- Attribuire un valore di verità ad una proposizione significa affermare che essa è vera oppure falsa
- ENUNCIATI (PROPOSIZIONI) APERTI o PREDICATI sono le PROPOSIZIONI che contengono delle VARIABILI, ovvero delle lettere che rappresentano un ELEMENTO GENERICO di un insieme
I CONNETTIVI sono gli strumenti che permettono di legare tra loro proposizioni o enunciati aperti, creando così nuove proposizioni e nuovi enunciati aperti.
Essi consentono di passare da proposizioni ELEMENTARI (o ATOMICHE) a proposizioni COMPOSTE (o MOLECOLARI), effettuando operazioni tra le proposizioni.
In pratica, i connettivi logici sono gli equivalenti delle quattro operazioni tra i numeri.
Per stabilire il valore di verità di una proposizione composta utilizziamo quelle che si chiamano “TAVOLE DI VERITÀ”
| Una tavola di verità è una TABELLA in cui si riportano le proposizioni elementari, quelle composte e i valori di verità possibili |
Vediamo insieme quali sono e le rispettive tavole di verità
NOTA: proposizioni ed operazioni logiche di negazione, congiunzione e disgiunzione costituiscono un’ALGEBRA DI BOOLE
CONNETTIVI LOGICI : NEGAZIONE NON (NOT)
(non A) è una proposizione falsa quando A è vera, vera quando A è falsa.
La tavola di verità è la seguente:
CONGIUNZIONE DI DUE PROPOSIZIONI (AND)
La congiunzione di due proposizioni a e b è la proposizione «a e b». Essa è vera solo se le due proposizioni sono entrambe vere. In tutti gli altri casi è falsa. Si scrive:
a ∧ b.
Si legge: «A e B», oppure (dal latino) «A et B», (dall’inglese) «A AND B».
IN ALTRE PAROLE : Date le proposizioni semplici a e b collegate dal connettivo AND (∧), il risultato della congiunzione a AND b darà origine a una proposizione composta che sarà:
- vera, solo se a e b sono entrambe vere;
- falsa, quando almeno una delle due è falsa.
Tavola di verità della proposizione composta a AND b
CONNETTIVO OR (DISGIUNZIONE)
Date le proposizioni semplici a e b collegate dal connettivo OR, il risultato della disgiunzione a OR b darà origine a una proposizione composta che sarà:
- falsa, solo se se a e b sono entrambe false;
- vera, quando almeno una delle due è vera.
Si scrive:
a ∨ b.
Si legge: «a o b», oppure (dal latino) «a vel b», O dall’inglese «a OR b ».
Tavola di verità della proposizione composta a ∨ b
DISGIUNZIONE ESCLUSIVA DI DUE PROPOSIZIONI (XOR)
La disgiunzione esclusiva di due proposizioni a e b è la proposizione «o a o b». Essa è vera solo se una proposizione è vera e l’altra è falsa.
Si scrive:
a ⩒ b.
Si legge: «o a o b», oppure dal latino «a aut b», oppure (dall’inglese) «a XOR b» (eXclusive OR).
Tavola di verità della proposizione composta a XOR b
CONNETTIVI LOGICI : disgiunzione inclusiva ed esclusiva
Come avrete notato, il significato che in matematica si dà ai connettivi “non”, “and” e “or” è simile a quello che anche noi diamo loro nel linguaggio corrente.
Dobbiamo però fare attenzione alla DISGIUNZIONE O. Infatti essa viene usata in due modi diversi
- IN SENSO ESCLUSIVO (XOR), corrispondente al latino AUT, come nella frase “mi iscriverò a Ingegneria o a Lettere”. In questo caso, delle due possibilità può verificarsene solo una. Infatti non posso iscrivermi contemporaneamente ad entrambe le facoltà. In italiano si esprime dicendo : “o…o..”
- IN SENSO INCLUSIVO (OR), corrispondente al latino VEL, come nella frase “Domani andrò a Roma o a Napoli”. In questo caso una delle due opzioni non esclude l’altra. Il connettivo OR corrisponde all’UNIONE tra insiemi: infatti un elemento appartiene all’unione di due insieme se appartiene all’uno o all’altro insieme e potrebbe anche appartenere ad entrambi.
CONNETTIVI LOGICI : PROPRIETÀ
Per i tre connettivi logici visti valgono proprietà analoghe a quelle valide per le quattro operazioni, come la proprietà associativa, distributiva e commutativa.
Vediamole insieme
⇒ PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA
- p ⋀ p = p
- p ⋁ p = p
⇒ PROPRIETÀ COMMUTATIVA
- p ⋀ q = q ⋀ p
- p ⋁ q = q ⋁ p
⇒ PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
- p ⋀ (q ⋀ r) = (p ⋀ q) ⋀ r
- p ⋁ (q⋁r) = (p ⋁ q) ⋁ r
⇒ PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
- p ⋀ (q ⋁ r) = (p ⋀ q) ⋁( p ⋀ r)
- p ⋁ (q⋀r) = (p ⋁ q) ⋀ (q⋁ r)
⇒ PROPRIETÀ DI ASSORBIMENTO
- p ⋀ (p ⋁ q) = q
- p ⋁ (p ⋀ q) = p
CONNETTIVI LOGICI : LEGGI DI DE MORGAN
Domani parleremo di implicazione e vi allegherò il file completo con la logica delle proposizioni.
CONNETTIVI LOGICI : Bibliografia :
- Vinicio Villani, Claudio Bernardi, Roberto Porcaro Non solo calcoli, Springer Verlag 2012
- Peter Sergeevic Novikov – Elementi di logica matematica Editori Riuniti, Roma 1975
- Bergamini, Barozzi, Tritone – Matematica.blu 2.0, 2° edizione, Zanichelli; 2017
- Sasso, Zanone – I colori della matematica. Edizione Blu, Petrini 2017
- Mark Zegarelli – Logica for Dummies, Hoepli 2014
- Peter Rozsa Giocando con l’infinito. Matematica per tutti BUR, 2010
- Chris Waring – Dare i numeri. La matematica che non vi hanno mai raccontato – De Agostini, 2013