Un articolo “fuori contesto”, diciamo così, su un argomento che in questo periodo mi viene spesso richiesto dai miei ragazzi.
Ricordate qualche tempo fa abbiamo parlato di ordini di grandezza? Avevamo detto che per stimare l’ordine di grandezza di un numero dobbiamo considerare tra quali potenze di 10 esso è compreso. In quel caso facevamo riferimento al coefficiente che moltiplica la potenza:
- Se esso è < 5, allora l’ordine di grandezza è la potenza CON ESPONENTE MINORE
- Se invece il coefficiente è > 5, allora l’ordine di grandezza è la potenza di 10 con ESPONENTE MAGGIORE
In generale, per operare con numeri che hanno molte cifre, e in particolare con numeri decimali con infinite cifre, si può utilizzare una loro approssimazione.
APPROSSIMAZIONE E REGOLA DELL’ARROTONDAMENTO : che cos’è un’approssimazione
Rispetto al numero n, il numero a è un’ approssimazione:
- per difetto se a < v;
- per eccesso se a > v.
Ad esempio, il famoso π = 3,1415…. può essere approssimato
- per difetto a 3,14
- per eccesso a 3,2
Esistono però precise regole da seguire quando vogliamo approssimare. Di solito si segue la “regola dell’arrotondamento” oppure quella del troncamento
APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO
Approssimiamo per troncamento quando “tagliamo” tutte le cifre dopo una certa cifra decimale, senza guardare ad altro.
Se decidiamo di troncare tutti i numeri decimale ai centesimi, significa che conserveremo due cifre dopo la virgola. In questo caso diciamo che abbiamo approssimato alla seconda cifra decimale.
ESEMPIO : Approssimiamo per troncamento alla terza cifra decimale il numero 3,82645.
Significa che dobbiamo conservare le prime tre cifre decimali ed eliminare tutte le successive.
3,826 | 45
Otteniamo quindi il numero 3,826.
APPROSSIMAZIONE E REGOLA DELL’ARROTONDAMENTO: la regola
Un altro modo di approssimare è quello di arrotondare. In questo caso, si guarda la prima cifra decimale che si vuole eliminare:
- Se la prima cifra da eliminare è <5 (se è minore di 5) il numero viene approssimato per difetto
- Se è ≥ 5 (se è maggiore o uguale a 5) il numero viene approssimato per eccesso.
Esempi:
Approssimiamo per difetto alla prima cifra decimale. Significa che dobbiamo “troncare” il numero dopo la virgola considerando SOLO la prima posizione. In altre parole: dopo la virgola ci serve solo una cifra.
Consideriamo la cifra successiva a quella che vogliamo approssimare. Come ci dice la regola, se la seconda cifra decimale è più piccola di 5, allora lasciamo invariata la prima cifra:
- 1, 11= 1, 1
- 1,12 = 1,1
- 1, 13=1,1
- 1,14=1,1
Se invece la cifra successiva a quella che vogliamo approssimare (in questo caso la seconda) è UGUALE O MAGGIORE DI 5, dobbiamo aumentare di una unità la cifra a cui sto troncando:
- 1,15 =1, 2
Si parla in questo caso di approssimazione PER ECCESSO (aumento di una unità la cifra decimale che precede il numero approssimato)
- 1,16=1,2
- 1,17=1,2
- 1,18=1,2
- 1,19=1, 2
APPROSSIMAZIONE E REGOLA DELL’ARROTONDAMENTO: gli errori
Come vedremo meglio in seguito, possiamo valutare l’errore che commettiamo quando al posto di un numero utilizziamo una sua approssimazione. In particolare, approfondiremo l’argomento in ambito scientifico!
Ed ora, ragazzi, rimettiamoci al lavoro! Il mio progetto è di riuscire a seguire un ordine “temporale”, cominciando dai primi argomenti del Primo anno della scuola superiore per arrivare al quinto anno! Avremo parecchio da fare… speriamo che i Nipoti continuino ad aiutarmi con il PC!