CONFRONTO DI FRAZIONI M.C.D.
Abbiamo visto in precedenza come confrontare frazioni particolari, che hanno lo stesso denominatore o lo stesso numeratore.
Ci siamo anche occupati del “metodo delle moltiplicazioni incrociate” per confrontare due frazioni con numeratore e denominatore diverso. Oggi generalizziamo e vediamo come confrontare frazioni con NUMERATORE E DENOMINATORE DIVERSI
CONFRONTO DI FRAZIONI M.C.D.
Come dobbiamo procedere se le frazioni da confrontare hanno DIVERSO sia il denominatore che il numeratore?
Supponiamo di voler confrontare 1/2 con 3/5. Possiamo procedere con il METODO GRAFICO, disegnando le due frazioni
e verificando visivamente quale è più grande.
Non sempre però questo metodo è semplice da applicare. Si ricorre allora al calcolo del MINIMO COMUNE DENOMINATORE.
In pratica, dobbiamo trasformare le frazioni date in altre EQUIVALENTI, che abbiano però lo STESSO DENOMINATORE.
Come fare? Ci basta trovare un numero che sia divisibile per entrambi i denominatori. Senza fare troppi calcoli, possiamo semplicemente moltiplicare tra loro i due denominatori. Per esempio, supponiamo di voler confrontare 1/2 e 3/5.
Moltiplichiamo 2 e 5 :
2 x 5 = 10
Il numero trovato sarà il nostro nuovo denominatore. Dobbiamo ora trovare il nuovo numeratore.
Per fare questo, dobbiamo dividere il nuovo denominatore per il vecchio e moltiplicare il risultato per il numeratore:
(10 : 2) x 1 = 5 x 1 = 5 ⇒ la frazione equivalente a 1/2 sarà quindi 5/10
(10:5) x 3 = 2 x 3 = 6 ⇒ la frazione equivalente a 3/5 sarà quindi 6/10
Possiamo ora confrontare le due frazioni, che hanno lo stesso denominatore. E’ quindi più grande quella con il numeratore più grande:
6/10 > 5/10 ovvero 3/5 > 1/2
Verifichiamo graficamente :
CONFRONTO DI FRAZIONI M.C.D. : che cos’è il minimo comune denominatore
In pratica, per poter trasformare le nostre frazioni in altre EQUIVALENTI e aventi entrambe lo STESSO DENOMINATORE , questo denominatore deve essere MULTIPLO di tutte e due le frazioni date.
I multipli di due o più numeri sono infiniti. Il più piccolo dei multipli tra due o più numeri prende il nome di minimo comune multiplo (m.c.m.)
RICORDA: I multipli di un numero si ottengono moltiplicando quel numero per tutti i numeri naturali (1,2,3,…)
Tra tutti i multipli comuni dei denominatori delle frazioni date scegliamo, quindi, il più piccolo di tali multipli, in modo da rendere più semplici i calcoli.
Il minimo comune denominatore (mcd) è uguale al minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori.
Supponiamo di voler calcolare il mcd delle frazioni 1/ 3 e 1 /2.
m.c.d (3,2) = 6
Compiliamo un elenco dei multipli di ciascuno dei due numeri e vediamo qual è il più piccolo
Come possiamo vedere, 3 e 2 hanno diversi multipli in comune (6, 12, 18, 24, …). Per semplificare i conti, noi scegliamo il più piccolo, che è 6.
Trasformiamo ora le frazioni date in altre equivalenti, con lo stesso denominatore. Dobbiamo dividere il denominatore nuovo per il vecchio e poi moltiplicare per il numeratore. Abbiamo:
- (6 : 3 ) x 1= 2 x 1 = 2 ⇒ 1/3 è quindi equivalente a 2/6 ⇒ 1/3 = 2/6
- (6:2) x 1 = 3 x 1 = 3 ⇒ 1/2 è quindi equivalente a 3/6 ⇒ 1/2 = 3/6
Possiamo ora confrontare le frazioni:
3/6 > 2/6, cioè : 1/2 > 1/3
Possiamo procedere elencando i multipli quando i numeri sono piccoli.
Se però i numeri sono grandi, il procedimento è complicato.
- Se abbiamo due numeri primi, allora il m.c.m. è uguale al loro prodotto. Per calcolare il m.c.d. ci basta quindi moltiplicarli tra loro:
m.c.m (3, 5) = 3 x 5 = 15
- Se abbiamo invece due numeri che sono multipli uno dell’altro, allora il m.c.c. è uguale al maggiore dei numeri.
Per esempio mcm (5; 25) = 25
- Possiamo anche elencare i multipli del numero maggiore e poi controllare se sono multipli degli altri numeri. Se ad esempio vogliamo calcolare il m.c.m. tra 6 e 15, elenchiamo i multipli di 15 e controlliamo se sono multipli di 6 .
- 15 x 1 = 15 «15 è multiplo di 6?» No, allora si prosegue.
- 15 x 2 = 30 «30 è multiplo di 6?» Si. E ci fermiamo. Ovvero m.c.m. (6, 15) = 30
CONFRONTO DI FRAZIONI M.C.D. : la scomposizione in fattori primi
Quando abbiamo numeri molto grandi, l’unico modo per calcolare il m.c.m. è quello di operare la scomposizione in fattori primi. Dobbiamo cioè scomporre i numeri dati in fattori primi e poi calcolare il m.c.m, prendendo tutti i fattori solo una volta e con il massimo esponente.
Esempio: Calcolare il mcm di 6, 2 e 9. Si scompongono in fattori primi i tre numeri:
- 6 = 2 x 3
- 2 = 1 x 2
- 9 = 32
Si moltiplicano tra loro i fattori primi prendendoli una sola volta con l’ esponente maggiore: 2 x 3 2 (il 2 compare due volte, ma se ne considera uno solo; 3 compare come 3 e 32, perciò lo si prende una volta sola con l’esponente maggiore: 32)
Quindi: mcm (6; 2; 9) = 2 ´ 3 2 = 18
CONFRONTO DI FRAZIONI M.C.D. ESERCIZI
ESERCIZIO 1 : Confronta le seguenti coppie di frazioni
ESERCIZIO 2: SENZA FARE CALCOLI, BASANDOSI SUL TIPO DI FRAZIONE, CONFRONTA LE SEGUENTI COPPIE DI NUMERI
- a) 7 /11 … 5 /4
- 21/ 20 … 34 /35
- 1 … 23/ 24
- 45/ 45 … 2/ 9
- 27/ 31 … 2
- 5 … 21/ 4 .
Ricorda : un numero intero è maggiore di qualsiasi frazione PROPRIA. Inoltre qualunque frazione IMPROPRIA è sempre maggiore di una frazione propria!
ESERCIZIO 3: Confronta le seguenti frazioni usando il metodo delle “moltiplicazioni incrociate”.
- 2/ 3 … 4 /5
- 1 /2 … 5 /11
- 9/ 13 … 5/ 7
- 8 /5 … 5/ 3
- 2 /5 … 1/ 3
- 6/ 19 … 2/ 7
ESERCIZIO 4: Disponi in ordine crescente.
- 5/4, 1/3, 1/2 9/4, 9/2, 5/5
- 7/6, 1, 5/6, 0, 12/3, 12/5