CONOSCIAMO GLI INSIEMI NUMERICI

CONOSCIAMO GLI INSIEMI NUMERICI

Nell’articolo che segue vi ho riassunto tutto quello che può servirvi per rivedere gli insiemi numerici. Vi servirà per prepararvi ai test di ingresso che molte scuole propongono ai loro nuovi studenti per conoscerli meglio e pianificare il lavoro da svolgere nel corso dell’anno

Molti licei consigliano agli studenti che si iscrivono al primo anno di conoscere, tra le altre cose i numeri naturali, gli interi relativi e i razionali, le proprietà delle operazioni e saper calcolare espressioni numeriche.

Cominciamo la nostra preparazione.

Nel pdf allegato troverete anche una trattazione più completa degli insiemi numerici

insiemi numerici

CONOSCIAMO GLI INSIEMI NUMERICI

Il processo che ha portato ad estendere i numeri naturali per ottenere quelli interi, razionali, reali e complessi mostra come siano state affrontate le anomalie riscontrate nell’eseguire le quattro operazioni fondamentali per superare i limiti di ciascun insieme.

RICORDA: un’OPERAZIONE si dice INTERNA ad un insieme se anche il risultato di quell’operazione APPARTIENE a tale insieme. Sommando e moltiplicando numeri naturali otteniamo ancora numeri naturali!

I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare : 1, 2, 3, … Chiamiamo tale insieme ℕ.

Siccome in ℕ non sempre è possibile la sottrazione, è stato introdotto l’insieme dei numeri interi (relativi), indicato con ℤ.

Esso comprende sia i numeri interi POSITIVI che i loro opposti, chiamati NEGATIVI:

ℤ = {0,  ± 1, ± 2, ±3, …. }

ℕ e Z sono INSIEMI DISCRETI: per ogni elemento x esiste sempre un solo elemento y che lo segue o lo precede IMMEDIATAMENTE, senza altri elementi tra di essi.

NON CI SONO ALTRI ELEMENTI TRA -3 e -2!

I numeri RAZIONALI, racchiusi nell’insieme ℚ, consentono di eseguire sempre la DIVISIONE tra due numeri e si possono scrivere in due forme:

• decimale (i numeri con la virgola), risultato della divisione tra numeri interi
• frazionaria (le frazioni), come rapporto tra numeri interi, senza quindi eseguire la divisione, con il denominatore DIVERSO DA ZERO

Oltre che per contare, i numeri servono anche a MISURARE e per questo compito ℚ si dimostra molto più adatto di ℕ e ℤ.

ℚ è un INSIEME DENSO : infatti per ogni coppia di numeri x e y, con x < y, esiste sempre un elemento z di ℚ tale che x<z<y

In altre parole: due numeri razionali, per quanto vicini, contengono sempre tra loro infiniti altri elementi razionali, ottenuti dividendo per tutti i numeri naturali l’ampiezza dell’intervallo x+y.

Tuttavia anche con i numeri razionali non sempre le misure ottenute con i numeri razionali sono ESATTE! Di questo si resero ben presto conto Pitagora e i suoi seguaci, provando ad applicare il loro famoso teorema. Infatti √2 NON è un numero razionale. E per questo furono introdotti i numeri reali

Siccome l’insieme ℝ può essere messo in corrispondenza con tutti i punti di una retta, esso viene detto COMPLETO. Esso comprende i numeri razionali e quelli irrazionali, ovvero quei numeri la cui rappresentazione decimale è ILLIMITATA E NON PERIODICA.

ℝ = razionali + irrazionali

RICAPITOLANDO:

NUMERI NATURALI ℕ = {0, 1,….}

• Insieme discreto
• Insieme ordinato
• Insieme infinito : esiste un elemento minimo (lo zero) ma non un elemento massimo. Si può rappresentare come una semiretta orientata.
• Operazioni interne: addizione e sottrazione

NUMERI INTERI RELATIVI: ℤ = {-∞, ….., -1, 0, +1, +2,…..+∞}

• Insieme discreto
• Insieme ordinato
• Insieme infinito
• Operazioni interne : addizione, sottrazione e moltiplicazione

NUMERI RAZIONALI ℚ ={-∞, …..,-10/3, -3, …, -1, 0, +1, +2,+5/2, ….., +∞}

• Insieme denso
• Insieme ordinato
• Insieme infinito
• Operazioni interne : addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione

CONOSCIAMO GLI INSIEMI NUMERICI : PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI

Conoscere le proprietà delle operazioni è FONDAMENTALE per comprendere il calcolo algebrico ed evitare errori di calcolo. Ricapitoliamo le proprietà e le caratteristiche delle quattro operazioni fondamentali

⇒Addizione

• È un’operazione interna a tutti gli insiemi numerici
• Gode della proprietà associativa e commutativa
• L’elemento neutro è lo ZERO
• E’ invertibile in ℤ e ℚ e l’operazione INVERSA è la SOTTRAZIONE

⇒ Sottrazione

• È un’operazione interna a ℤ e ℚ mentre NON sempre è possibile in ℕ
• Gode della proprietà invariantiva

⇒ Moltiplicazione

• Operazione interna a tutti gli insiemi numerici
• Gode della proprietà associativa e commutativa
• È distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione
• L’elemento neutro è l’1
• È invertibile in ℚ₀ e l’operazione inversa è la DIVISIONE

⇒ Divisione

• È un’operazione interna a ℚ mentre NON sempre è possibile in ℕ e ℤ
• Gode della proprietà invariantiva
• È distributiva solo A SINISTRA rispetto alla somma e alla sottrazione

Per una trattazione più completa vedi

OPERAZIONI IN ℕ

 

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