Dopo aver rivisto insieme le frazioni e ricordato che esse sono sempre rappresentabili come numeri decimali, ampliamo ulteriormente i nostri insiemi numerici ed introduciamo i NUMERI RAZIONALI.
In pratica:
Si chiama numero razionale qualsiasi numero che può essere espresso sotto forma di frazione
FRAZIONI e NUMERI RAZIONALI : I NUMERI RAZIONALI
Ricordiamo che anche le frazioni possono essere rappresentate sulla retta dei numeri. Nello stesso punto trovano collocazione tutte le frazioni equivalenti, che formano una CLASSE DI EQUIVALENZA.
OGNI CLASSE DI EQUIVALENZA rappresenta un numero, che viene detto RAZIONALE ASSOLUTO se lo consideriamo senza segno. L’insieme di tutte le classi di equivalenza costituisce l’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI ℚₐ:
Estendendo il concetto di frazione anche al caso in cui numeratore e denominatore sono NUMERI INTERI RELATIVI, avremo perciò anche le frazioni con il segno :
-3/4 , +15/7, -9/18, ….
In generale, quindi, un numero razionale è una classe di frazione equivalenti in cui numeratore e denominatore sono numeri interi (relativi). L’insieme dei razionali si indica con ℚ
ℚ è quindi un AMPLIAMENTO di ℤ: infatti a ciascuna frazione con denominatore 1 corrisponde un numero intero
Sono numeri razionali tutti i numeri naturali (considerati come frazioni con denominatore unitario) e tutti i numeri decimali, finiti o periodici.
Un numero razionale può essere espresso sotto varie forme: frazione, percentuale, numero decimale:
7/100 = 7% = 0,07
Siccome ogni frazione ha infinite frazioni equivalenti, ogni numero razionale può essere espresso sotto forma di frazione in infiniti modi.
In conclusione:
a ogni numero razionale corrisponde un numero decimale, finito o periodico, e, viceversa, ad ogni frazione corrisponde un numero razionale
OSSERVAZIONE:
Ci sono procedimenti matematici, come l’estrazione di radice, che portano a numeri decimali illimitati e non periodici. Questi numeri si chiamano IRRAZIONALI. Introducendo anche questi numeri, passeremo dai numeri razionali a quelli REALI.
Infatti si chiama NUMERO REALE ogni numero, razionale o irrazionale
Ne riparleremo prestissimo.
FRAZIONI e NUMERI RAZIONALI: ORDINAMENTO DEI RAZIONALI
Dati due numeri razionali, è sempre possibile stabilire se uno è maggiore, minore o uguale all’altro. Infatti anche l’insieme dei numeri razionali è un INSIEME ORDINATO.
⇒ Se due numeri razionali sono DISCORDI, il maggiore è quello positivo:
Ad esempio:
⇒ Se due numeri razionali sono POSITIVI, allora possiamo confrontarli con il metodo dei prodotti in croce:
⇒ Se due numeri razionali sono NEGATIVI, allora è MAGGIORE quello quello con valore assoluto MINORE:.
Ad esempio :
Inoltre lo ZERO è MAGGIORE di qualsiasi numero razionale NEGATIVO e MINORE di qualsiasi numero razionale POSITIVO
OSSERVAZIONE: La regola dei prodotti in croce resta valida anche caso di FRAZIONI NEGATIVE, attribuendo il segno negativo ai numeratori. Se per esempio dobbiamo confrontare
ci basta scrivere :
Effettuando il prodotto in croce otteniamo (-7) e (-10). Siccome (-7) > (-10) abbiamo:
FRAZIONI e NUMERI RAZIONALI: OPERAZIONI NELL’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI
⇨ ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
⌛Se le frazioni hanno lo STESSO DENOMINATORE, la somma (o la differenza) sarà una frazione avente lo stesso denominatore e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori
⌛ Se i numeri razionali hanno DIVERSO DENOMINATORE, si riducono prima allo stesso denominatore e poi si procede come nel caso precedente
Nell’insieme ℚ valgono tutte le proprietà dell’addizione:
- commutativa
- associativa
- esistenza dell’elemento opposto
Vale anche la proprietà invariantiva della sottrazione
⇨MOLTIPLICAZIONE TRA RAZIONALI
con b e d diversi da zero
Valgono sempre le stesse proprietà:
- Associativa
- Dissociativa
- Commutativa
- Distributiva rispetto alla somma
- Legge di annullamento del prodotto
RICORDA: il RECIPROCO DI UN NUMERO RAZIONALE n/d è la frazione d/n, ottenuta scambiando numeratore e denominatore:
Ad esempio, il reciproco di ¾ è 4/3
Se moltiplichiamo un numero razionale per il suo reciproco, il risultato è 1:
⇨DIVISIONE DI RAZIONALI
Il quoziente di due numeri razionali, con il secondo diverso da zero, è uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo.
In questo modo possiamo sempre effettuare la divisione in ℚ
Valgono inoltre la proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a destra rispetto all’addizione
⇨ POTENZA IN ℚ
Dato un numero naturale n, la potenza n-sima di una frazione è una frazione avente per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore
⇒ POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO
In ℚ possiamo definire anche le potenze con esponente negativo. Infatti la potenza di un numero razionale con esponente intero negativo è una potenza che ha per base il RECIPROCO del numero razionale dato e per esponente l’opposto dell’esponente:
Nel pdf allegato, trovate la teoria con gli esercizi. La maggior parte li trovate svolti nell’altro pdf.
Domani parleremo di approssimazioni di un numero, ordini di grandezza e notazione scientifica, poi ripasseremo le proporzioni e finalmente passeremo a un argomento che non sempre viene trattato a scuola, l’insiemistica! A noi rompevano le scatole con questi argomenti sin dall’asilo!!!
Insomma, salvo imprevisti dovremmo avere parecchio da fare!