Mentre proseguiamo ad occuparci del programma del secondo anno, parlando dei sistemi e poi di radicali, equazioni e disequazioni, finalmente riesco anche a iniziare il ripasso del programma del primo anno delle superiori. Iniziamo dai numeri!
Ampliamo l’insieme dei numeri naturali, introducendo i numeri “con il segno”. Come sappiamo, infatti, con i numeri naturali non sempre è possibile eseguire l’operazione di sottrazione. In particolare, non è possibile sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, per esempio non possiamo calcolare 5 – 12. Tuttavia ci sono situazioni in cui una sottrazione di questo tipo deve essere eseguita.
Per questo sono stati “inventati” i numeri con il segno. Vediamo di che cosa si tratta
NUMERI INTERI RELATIVI: che cosa sono
Sono i numeri interi preceduti dal segno + (POSITIVI) oppure – (NEGATIVI)
Lo ZERO NON HA SEGNO: è considerato l’elemento di separazione tra i numeri positivi e quelli negativi
ℤ = {…., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ….}
I numeri interi relativi costituiscono quello che si chiama insieme ℤ
Rappresentazione dei numeri relativi
I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta. Disegniamo una retta, su di essa prendiamo un punto di riferimento al quale associamo il numero zero, il verso di percorrenza da sinistra verso destra.
Fissiamo una distanza tra i vari elementi ovvero stabiliamo un’unità di misura. Riportiamo questa unità di misura più volte partendo da zero e camminando nel verso stabilito aggiungiamo ogni volta uno: ai punti trovati associamo gli interi positivi.
Ripetiamo l’operazione partendo dallo zero, ma con il verso di percorrenza a sinistra: ai punti trovati associamo gli interi negativi.
L’insieme dei numeri interi ℤ è un INSIEME ORDINATO. I numeri interi si possono rappresentare su una retta orientata, con lo zero a dividere i numeri positivi da quelli negativi.
Due numeri relativi sono
- CONCORDI, se hanno lo STESSO segno
- DISCORDI, se hanno segno OPPOSTO
IL VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO INTERO
Si chiama VALORE ASSOLUTO (o MODULO) di un numero il numero SENZA IL SEGNO.
Risulta:
- |+a| = a
- |-a| = a
In pratica, il valore assoluto è sempre positivo e ci restituisce il valore del numero SENZA segno.
Da un punto di vista geometrico, il valore assoluto indica la distanza tra il punto che rappresenta il numero sulla retta
NUMERI OPPOSTI : hanno lo STESSO valore assoluto ma segno diverso.
Ad esempio, l’opposto di +2 è -2
Osservazione : Per indicare un numero positivo possiamo scrivere il numero senza il segno +.
NUMERI INTERI RELATIVI : ORDINAMENTO IN ℤ
Come detto, l’insieme dei numeri interi è un INSIEME ORDINATO. Ovvero in esso ogni elemento ammette un precedente e un successivo.
RICORDA:
- due numeri sono UGUALI se occupano la stessa posizione sulla retta
- dati due numeri positivi, il maggiore è quello con valore assoluto maggiore (10 > 1)
- tra due numeri negativi, il maggiore è quello con valore assoluto MINORE (-3> -10!)
- qualsiasi numero POSITIVO è sempre MAGGIORE di qualsiasi numero NEGATIVO : 1 > -100
- Lo ZERO è sempre MAGGIORE di qualsiasi numero NEGATIVO e MINORE di qualsiasi numero POSITIVO.
Usando la rappresentazione dei numeri sulla retta l’ordinamento risulta più facile da verificare: il verso di percorrenza della retta (la freccia) indica la direzione nella quale i numeri crescono.
NUMERI INTERI RELATIVI : Z come ampliamento di N
All’inizio dell’articolo abbiamo detto che avremmo ampliato l’insieme dei numeri naturali. Vediamo perché possiamo considerare Z come un ampliamento di N.
Consideriamo il sottoinsieme di Z formato dallo ZERO e da tutti gli interi positivi ed indichiamolo con Z+0 :
Z+0 ={0,+1,+2,+3,+4, …}
Associamo allo 0 di Z+0 lo 0 di N, a +1 il numero naturale 1, a +2 il numero naturale 2 e così via.
Si dice che gli insiemi Z+0 e N sono in corrispondenza biunivoca: a ogni numero intero di Z+0associamo il numero naturale che si ottiene da esso privandolo del segno e viceversa.
RICORDA : Una corrispondenza biunivoca fra due insiemi A e B associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B e viceversa (corrispondenza «uno a uno»)
NUMERI INTERI RELATIVI : esercizi
ESERCIZIO 1
Riscrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande) i seguenti numeri relativi:
+11 -3 0 +2 -5 -7 +1
ESERCIZIO 2
Riscrivi in ordine decrescente (dal più grande al più piccolo) i seguenti numeri relativi:
-5, +3, -1, 0, +7, -9, +13, -21
ESERCIZIO 3
Disponi sulla retta orientata i seguenti numeri relativi: -3; +2; +5; -7; -5; -1; +3
ESERCIZIO 4
Per ciascuno dei seguenti numeri relativi scrivi il valore assoluto
- |+3| = …
- |-5| = …
- |-1| = …
- |+10| = …
- |-11| = …
- |+7| = …
ESERCIZIO 5
Scrivi tra le seguenti coppie di numeri relativi il simbolo corretto tra > e <
-
- -5 … -2
- -3 … +5
- -2 … +2
- -5 … 0
- -3 … -5
- -1 … +1
- +3 … -3
- -1 … -5
- -100 … -2