OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI

Facciamo un po’ di ordine, mettendo insieme tutto quello che sappiamo sulle operazioni con i NUMERI NATURALI.

Vi propongo quello che è lo schema che utilizzo con i miei ragazzi con “esigenze speciali”, che loro trovano utile per non dimenticare. Poche parole e tanti schemi!

Spero di riuscire a prepararvi presto una bella lezione su come preparare le vostre mappe tematiche, uno strumento utilissimo per tutti in ogni momento.

Io ho imparato a usarle da piccola, grazie alla mia Nonna, che era “un sacco avanti”. E non le ho lasciate più: le utilizzo persino per realizzare le mie ricette!

Ma torniamo a noi e alle nostre operazioni.

Nel pdf l’articolo in versione stampabile e le mappe tematiche, oltre ad un po’ di esercizi

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI : Che cos’è un’operazione

Innanzitutto ricordiamo che :

Un’operazione fra due numeri è un procedimento che fa corrispondere a due numeri, presi in un certo ordine, un terzo numero, detto risultato dell’operazione

Le operazioni che possiamo eseguire nell’insieme dei numeri naturali sono :

I simboli +, -, ∘, : si chiamano OPERATORI. Essi agiscono sui numeri (OPERANDI), per darci il RISULTATO. Per le quatto operazioni abbiamo:

ADDIZIONE e MOLTIPLICAZIONE danno come RISULTATO un numero NATURALE e si dicono

OPERAZIONI INTERNE A ℕ

SOTTRAZIONE E DIVISIONE sono le OPERAZIONI INVERSE dell’addizione e della moltiplicazione e NON SEMPRE il loro risultato è un numero naturale

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI : Addizione

è l’operazione che fa corrispondere a due numeri, detti addendi, un terzo numero, detto somma, che si ottiene contando di seguito al primo numero tante unità quante ne indica il secondo. Per esempio: 3+4=3+1+1+1+1=7.
L’elemento neutro dell’addizione, cioè quell’elemento che addizionato a un numero dà come risultato il numero stesso, è lo zero. Ad esempio : 5+0=0 ma anche 0+5=5.
Proprietà commutativa: la somma di due addendi non cambia se cambiamo l’ordine. Per esempio: 3+5=5+3.
Proprietà associativa: la somma di due addendi non cambia se a due o più di essi sostituiamo la loro somma. Per esempio: 3+4+5=7+5 ma anche 3+4+5=3+9. Con le parentesi (3+4)+5=3+(4+5).
Proprietà dissociativa: la somma di due addendi non cambia se sostituiamo uno di essi con due addendi la cui somma dà il numero sostituito. Per esempio: 3+10=3+6+4 ho sostituito 10 con 6+4.

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI : Sottrazione

Fa corrispondere a due numeri, il minuendo e il sottraendo, un terzo numero, detto differenza, che addizionato al secondo dà come risultato il primo. La differenza può anche non esistere nei numeri naturali. Per esempio: 7-5=2 perché 2+5=7.
Proprietà invariantiva: la differenza di due numeri non cambia se a ciascuno di essi si addiziona o si sottrae, quando è possibile, uno stesso numero. Per esempio: 10-5=(10-2)-(5-2) cioè 10-5=8-3, sottraendo 2 a minuendo e sottraendo.

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI : Moltiplicazione

E’ l’operazione che fa corrispondere a due numeri, detti fattori, un terzo numero, detto prodotto, ottenuto addizionando tanti addendi uguali al secondo quanti ne indica il primo. Per esempio: 4×5 = 5+5+5+5 = 20.
L’elemento neutro della moltiplicazione è 1: qualsiasi numero moltiplicato per 1 resta invariato. Ad esempio 5×1= 1×5=5.
Proprietà commutativa: il prodotto di due fattori non cambia se si cambia il loro ordine. Per esempio: 3×4=4×3.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: per moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare il numero per ciascun addendo e poi addizionare i prodotti ottenuti. Per esempio: 3x(4+5)=3×4+3×5=12+15=27 anche (3+4)x5=3×5+4×5=15+20.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione : per moltiplicare un numero per una differenza, si può moltiplicare il numero per minuendo e sottraendo e poi sottrarre i prodotti ottenuti. Per esempio: 3x(5- 4)=(5- 4) x 3 = 3×5- 3×4 =15-12 =3
Proprietà associativa : il prodotto di più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto. Ad esempio: 3x4x5 può essere calcolato come 3×20 oppure come 12×5. Usando le parentesi: (3×4)x5=3x(4×5)
Proprietà dissociativa: il prodotto di due fattori non cambia se sostituiamo uno di essi con due fattori che moltiplicati tra loro diano il numero sostituito. Per esempio: 3×10=3x2x5 (Sostituisco 10 con 2×5)

REGOLE PRATICHE per MOLTIPLICARE

Se dobbiamo moltiplicare un numero intero per 10, 100, 1000, …. basta aggiungere uno, due, tre … zeri al numero da moltiplicare. Per esempio: 134 x 100=13 400 12 x 1000=12 000
Per moltiplicare un numero decimale per 10, 100, 1000 basta spostare la virgola verso destra di uno, due, tre posti. Per esempio: 3,12×10=31,2 1,2×100=120 0,1234×1000=123,4
Per moltiplicare un numero intero o decimale per 0,1; 0,01; 0,001 basta spostare la virgola verso sinistra di uno, due, tre posti. Per esempio: 120×0,1=12,0=12 123,45×0,01=1,2345

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI : Divisione

E’ l’operazione che a due numeri, dividendo e divisore, associa un terzo numero, detto quoziente, che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo. Il quoziente può anche non esistere nei numeri naturali. Il divisore deve necessariamente essere diverso da 0. Per esempio: 12:4=3 perché 3×4=12. Invece 12:0 non ha risultato perché non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 ci fornisca come risultato 12. Invece 0:12=0 perché 0x12=0.
In seguito vedremo che se non esiste il quoziente intero, la divisione può essere eseguita con il resto oppure con i numeri decimali. Per esempio: 14:4=3 con resto 2 oppure con i numeri decimali 14:4=3,5.
Proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero diverso da 0 il dividendo e il divisore il quoziente resta invariato. Per esempio 12:4= 6:2 ho diviso entrambi i numeri per 2; oppure moltiplicando entrambi i numeri per 5 si ha 12:4=60:20.
Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione: per dividere una somma per un numero si può dividere, se possibile, ciascun addendo per quel numero e poi addizionare i quozienti ottenuti. Per esempio (10+4):2 = 10:2+4:2=5+5=7.
- ATTENZIONE : questa proprietà NON VALE se viene prima la divisione e poi l’addizione. Ad esempio 120:(10+2)=120:12=10 mentre 120:10+120:2=12+60=62.
Proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione: per dividere una differenza per un numero si può dividere, se possibile, ciascun termine della sottrazione per quel numero e poi sottrarre i quozienti ottenuti. Per esempio (10 – 4) :2 = 10:2 – 4:2=5 – 2 =3.

REGOLA PRATICA :

Per dividere un numero per 10, 100, 1000 si aggiunge o si sposta, la virgola di uno, due, tre posti verso sinistra. Per esempio: 1234:100=12,34 12,34:1000=0,1234

OPERAZIONI CON I NUMERI NATURALI : RISOLVERE LE ESPRESSIONI

Ricordiamo che

Un’espressione è un sequenza di numeri, legati tra loro dai simboli delle operazioni.

Le regole principali per risolvere un’ espressione sono :

⇒ Se l’espressione non contiene parentesi e contiene solo addizioni e sottrazioni, si eseguono le operazioni secondo l’ordine in cui sono scritte. Analogamente, se contiene solo moltiplicazioni e divisioni, si eseguono le operazioni secondo l’ordine con cui sono scritte.

Per esempio

15+7-5-3=22-5-3=17-3=14
30:5:3=6:3=2

⇒ Se l’espressione è senza parentesi e contiene diversi tipi di operazioni, si eseguono per prima le potenze, poi le moltiplicazioni e divisioni e infine addizioni e sottrazioni.

Per esempio:

3+8 x 2 + 2=3+ 16 + 2=19 + 2 =21

⇒ Se l’espressione contiene delle parentesi, esse stabiliscono l’ordine con cui eseguire le operazioni. Si eseguono prima le operazioni contenute nelle parentesi tonde, poi quelle dentro le parentesi quadre, infine quelle dentro le parentesi graffe. All’interno delle parentesi, poi, prima si calcolano le potenze, poi si eseguono moltiplicazioni e divisioni e infine addizioni e sottrazioni.

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