Dalla geometria sappiamo come definire rette perpendicolari e parallele. Come esprimere però analiticamente le loro definizioni? E’ proprio quello che vedremo oggi.
RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI: definizioni
Ricordate? Due generiche rette del piano possono essere
- INCIDENTI : si incontrano in un punto
- PERPENDICOLARI : Si incontrano in un punto e formano quattro angoli retti
- PARALLELE : non hanno alcun punto in comune
- COINCIDENTI : Hanno tutti i punti in comune
Con gli esercizi vedremo anche come trovare il punto di intersezione di due rette.
RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI: la condizione di parallelismo
Due rette (non parallele all’asse y) sono parallele tra loro se e solo se hanno lo STESSO coefficiente angolare:
m = m’
Se le equazioni delle rette r ed s sono date in forma implicita, cioè sono nella forma:
- r: ax + by + c = 0
- s: a’x + b’y + c’ = 0
la condizione da soddisfare diventa:
Ovvero, moltiplicando “in croce” :
ab’= a’b ⇒ ab’- a’b = 0
Possiamo quindi riassumere le due condizioni di parallelismo:
m= m’ ⇔ ab’- a’b = 0
RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI : la condizione di perpendicolarità
Due rette (non parallele agli assi) sono perpendicolari tra loro se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1:
m• m’ = -1
OVVERO se i due coefficienti sono l’uno l’OPPOSTO INVERSO dell’altro.
Ad esempio :
m=2/3 ⇒ la retta perpendicolare avrà coefficiente angolare m’ = – 3/2
m= 2 ⇒ la retta perpendicolare avrà coefficiente angolare m’ = -1/2
Se ho le due equazioni in forma implicita, la condizione diventa:
m= – 1/ m’ ⇔ aa’+ bb’ = 0
Vediamo insieme un esempio.
Supponiamo di voler determinare l’equazione della retta parallela e perpendicolare ad una retta r di equazione :
-x +2y +6 = 0
e passanti per il punto A (1;1)
Innanzitutto scriviamo l’equazione della retta r in forma esplicita :
y = 1/2 x -3
Il coefficiente angolare è quindi
m = 1/2
La retta parallela ad r dovrà avere lo stesso coefficiente angolare e passare per A. Sarà quindi:
y -1 = 1/2 (x-1)
da cui :
y = 1/2x +1/2
La retta perpendicolare ad r dovrà invece avere coefficiente angolare opposto e inverso:
m’ = -2
Di conseguenza, imponendo che passi per A (1;1), avremo:
y – 1 = -2 (x – 1)
y = – 2x + 3
Spero di riuscire ad inserire gli esercizi quanto prima!
PER APPROFONDIRE :
IL RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE
INSIEMI DI PUNTI E PIANO CARTESIANO
EQUAZIONE DI UNA RETTA PER L’ORIGINE
https://lezioniignoranti.altervista.org/equazione-generale-della-retta/