Finalmente mettiamo da parte Pitagora e cominciamo il programma del terzo anno delle superiori parlando di PIANO CARTESIANO E RETTA, cercando soprattutto di inserire tanti esercizi!
Ho notato infatti che il problema più grande con la famigerata Didattica a Distanza è la poca attenzione riservata alla pratica. Per questo vi propongo tanti esercizi svolti, sperando che vi siano di aiuto.
Tutta la settimana sarà dedicata all’argomento! Ma tranquilli: spero di riuscire ad inserire anche altre lezioni, dedicate a temi diversi.
Alla fine dell’articolo, trovate anche degli esercizi per i ragazzi delle elementari e delle medie, con la spiegazione semplificata
IL RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE
Fissiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali, considerando due rette orientate (CON LA FRECCIA) perpendicolari tra loro, la prima orizzontale e la seconda verticale.
Tali rette si chiamano ASSI :
- ASSE X = ASSE DELLE ASCISSE
- ASSE Y = ASSE DELLE ORDINATE
- ORIGINE = punto di intersezione tra gli assi. Lo indichiamo con O
Sull’asse delle ascisse, a partire dalla destra di O, si scrivono i numeri positivi (fin dove lo permette il disegno degli assi). A sinistra di O si scrivono i numeri negativi.
Per l’asse delle ordinate si procede allo stesso modo, con in numeri positivi verso l’alto e quelli
negativi verso il basso.
LE COORDINATE DI UN PUNTO
A ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia di numeri; viceversa, a ogni coppia di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano.
In pratica: posso individuare ogni punto del piano indicando i valori delle sue coordinate x e y : P = (a,b).
Il primo numero della coppia indica la coordinata x, il secondo la y.
NOTA: i punti appartenenti all’asse x hanno la coordinata y nulla. Sono cioè del tipo A (x;0)
Invece i PUNTI DELL’ASSE y hanno NULLA la coordinata x. Sono quindi del tipo
COME INDIVIDUARE LE COORDINATE DI UN PUNTO
Prendiamo un punto A qualsiasi del piano. Per stabilire le sue coordinate, dobbiamo tracciare le proiezioni perpendicolarmente ai due assi. In questo modo troviamo le coordinate cartesiane del punto A.
Supponiamo che le proiezioni incontrino l’asse X sul numero 4 e l’asse Y sul numero 3.
Diremo che il punto A ha coordinate 4; 3 che si scrive A(4;3). Si può anche dire che il punto A ha ascissa 4 ed ordinata 3.
Analogamente, per individuare il punto B, tracciamo la parallela all’asse y passante per il punto e incontriamo l’asse x nel punto di ascissa -2. Successivamente tracciamo la parallela all’asse x passante B e incontriamo l’asse y nel punto di ordinata 2. Il punto B ha quindi coordinate (-2; 2)
IL RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE : I QUADRANTI
Gli assi dividono il piano in quattro “regioni”, dette QUADRANTI.
Nel primo e nel terzo quadrante, un punto ha ascissa e ordinata dello stesso segno; nel secondo e nel quarto quadrante, ha coordinate di segno opposto.
Vi ho riassunto quanto detto nel pdf allegato
SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO(SUPERIORI)
IL PIANO CARTESIANO ELEMENTARI
IL RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE: Un po’ di storia
Nel II secolo a.C. Ipparco di Nicea (astronomo, matematico e geografo della Grecia antica, vissuto tra il 190 a.C.- 120 a.C.) compilò il primo catalogo stellare in cui precisò la posizione di circa 850 stelle sulla sfera celeste mediante due numeri: latitudine e longitudine.
La posizione di un punto era dunque individuata attraverso una coppia di numeri. Ancora oggi attraverso latitudine e longitudine viene individuato un punto sulla superficie terrestre.
Nel XVII secolo con le opere di Pierre de Fermat (matematico e magistrato francese, 1601 – 1665) e di René Descartes (filosofo e matematico francese meglio noto in Italia con il nome Cartesio, 1596 – 1650), il metodo di rappresentare punti con coppie di numeri divenne un procedimento matematico per descrivere enti geometrici attraverso numeri, equazioni, disequazioni e tradurre le relazioni tra elementi della geometria in relazioni tra enti dell’algebra.
Come detto, un punto del piano può essere individuato facilmente da due numeri:
- l’ascissa indica la distanza del punto dall’asse verticale
- l’ordinata (il secondo numero) indica invece la distanza del punto dall’asse orizzontale
In onore di Cartesio, le coordinate del punto vengono definite COORDINATE CARTESIANE
IL RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE : ESERCIZI
Gli ultimi esercizi saranno più facili dopo aver parlato della distanza tra due punti
PIANO CARTESIANO ESERCIZI INTRODUTTIVI
ESERCIZIO 1
Individua nel piano cartesiano i seguenti punti :
- A (2; -2)
- B (-1;1)
- C (5; -3)
- D (3; 3)
- E (0; 6),
- F(0; 2),
- G(3; 4)
- H(5; 2).
ESERCIZIO 2
Disegna su di un piano cartesiano il poligono avente per vertici i seguenti punti A(+3; +2), B(+15; +2), C(+15; +7) e D(+3; +7). Di quale figura si tratta?
ESERCIZIO 3
In un piano cartesiano rappresenta i punti di coordinate A(-3; -3), B(3; 0), C(1; 4) e D(-5; 1) fissando come unità di misura il centimetro (due quadretti del foglio corrispondono a un centimetro). Congiungi nell’ordine i punti dati, indica il nome della figura ottenuta e descrivine le proprietà (lati, angoli, …).
ESERCIZIO 4
Rappresenta in un piano cartesiano ortogonale i punti A(0;3), B(3;-1), C(-6;-1) e D(-6;3). Congiungi i punti nell’ordine dato e descrivi le caratteristiche del poligono che ottieni.
ESERCIZIO 5
Rappresenta in un piano cartesiano ortogonale i punti A(2;4), B(-2;-1) e C(5;-3). Congiungi i punti nell’ordine dato e trova il baricentro del triangolo.
ESERCIZIO 6
Rappresenta in un piano cartesiano ortogonale i punti A(2;4), B(-3;-2) e C(7;-2). Congiungi i punti nell’ordine dato e trova il baricentro del triangolo
ESERCIZIO 7
Rappresenta i punti A(3; 0) e B(0; 4) in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano (u = 1 cm).
- Disegna il triangolo ABO, con O origine degli assi. Di che tipo di triangolo si tratta? Motiva la tua risposta.
- Considera i simmetrici del triangolo ABO rispetto all’asse x delle ascisse e rispetto all’asse y delle ordinate. Indica le coordinate dei vertici dei triangoli ottenuti.
- Calcola il perimetro e l’area del triangolo ABO.
ESERCIZIO 8
Rappresenta i seguenti punti in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano (u = 1 cm):
A(3; 1), B(–3; 1), C(–3; –3) e D(3; –3)
- Congiungi i punti nell’ordine dato e scrivi il nome del poligono ottenuto.
- Calcola il perimetro e l’area del poligono ABCD.