CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI
Una piccola pausa dalla matematica, dedicandoci velocemente ad un argomento di geometria che presto riprenderemo anche da un punto di vista analitico e che ci porterà via parecchio tempo.
Parliamo della circonferenza da un punto di vista geometrico, prima di fare la sua “conoscenza” analitica!
Nell’articolo troverete riassunta praticamente tutta la parte di teoria che di solito si studia al secondo anno di medie e superiori.
Di seguito, tutto l’articolo in formato stampabile
CIRCONFERENZA
CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI: definizioni
- Circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano equidistanti da un punto fisso, detto centro, usualmente indicato con C.
- RAGGIO di una circonferenza è la distanza tra un punto qualsiasi della circonferenza e il centro.
- CERCHIO è la parte di piano finita delimitata da una circonferenza. Tutti i punti del cerchio hanno distanza dal centro minore o uguale al raggio.
In altre parole :
- Circonferenza di centro C e raggio r è il luogo dei punti del piano la cui distanza da C è` r.
- Cerchio di centro C e raggio r è invece la parte di piano delimitata dalla circonferenza di centro O e raggio r e da tutti i punti interni alla circonferenza stessa
Il cerchio è la parte di piano delimitata da una CIRCONFERENZA
- Corda è un segmento che congiunge due punti qualsiasi della circonferenza.
- Diametro è una corda che passa per il centro. Il diametro è la corda di lunghezza massima ed è il doppio del raggio.
Il diametro è una corda passante per il centro ed è la corda più lunga per una circonferenza
CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI: arco, segmento e settore circolare
⇒ Arco è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza viene divisa da due suoi punti. Di solito viene indicato così :
Diamo una definizione più rigorosa:
si chiama ARCO l’intersezione di una circonferenza con un suo angolo al centro. I due punti in cui i lati dell’angolo al centro incontrano la circonferenza si chiamano ESTREMI dell’arco e la corda che li congiunge si dice SOTTESA all’arco.
⇒ Settore circolare è ognuna della due parti in cui viene diviso un cerchio da due suoi raggi.
Più rigorosamente :
chiamiamo SETTORE CIRCOLARE l’intersezione di un cerchio con un suo angolo al centro.
⇒ Segmento circolare ad una base è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una sua corda
Con segmento circolare a due basi intendiamo invece la parte di cerchio compresa fra due corde parallele.
CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI : teorema fondamentale
TEOREMA : Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.
Ovvero: esiste una sola circonferenza che passa per tre punti non allineati
In una stessa circonferenza a archi convessi congruenti corrispondono corde congruenti e viceversa.
Proprietà delle corde
- In una circonferenza, ogni corda NON passante per il centro è MINORE del diametro
- L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza e, viceversa, la perpendicolare ad una corda, condotta dal centro, è l’asse della corda
- In una circonferenza, due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e, viceversa, se due corde hanno la stessa distanza dal centro, allora sono congruenti
- In una circonferenza, se due corde hanno diverse distanze dal centro, la corda con minore distanza dal centro è quella maggiore
ANGOLI AL CENTRO, ARCHI E SETTORI CIRCOLARI
⇒ L’angolo al centro di una circonferenza è ogni angolo avente il vertice nel suo centro.
Ad ogni angolo al centro corrisponde un arco e un settore circolare (vedi le definizioni sopra)
PROPRIETA’: In una circonferenza ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti e settori congruenti. Viceversa, ad archi e corde congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.
L’ampiezza di un angolo al centro è proporzionale alla lunghezza dell’arco sul quale insiste l’angolo (proporzionalità diretta)
ATTENZIONE: la corrispondenza tra angoli al centro e corde NON è di proporzionalità diretta!!!
Le corde sono congruenti SE E SOLTANTO SE gli angoli al centro sono congruenti ovvero se e soltanto se gli archi su cui insistono gli angoli al centro sono congruenti
⇒ Angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati secanti (o tangenti) la circonferenza.
Più rigorosamente:
DEFINIZIONE : si chiama angolo alla circonferenza ogni angolo CONVESSO che ha il vertice su una circonferenza e i due lati entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza
PROPRIETA’: Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde un solo arco sul quale insiste, viceversa ad ogni arco corrispondono infiniti angoli alla circonferenza tutti congruenti tra loro.
Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza si dicono CORRISPONDENTI se insistono sullo stesso arco
- Ogni angolo alla circonferenza è metà del corrispondente angolo al centro.
- Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti
- Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto
CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI :POSIZIONI RECIPROCHE DI RETTA E CIRCONFERENZA
Circonferenza e retta possono assumere tre diverse posizioni nello spazio:
⇒ Retta esterna a una circonferenza è una retta che NON ha PUNTI in comune con la circonferenza. Questo significa che una retta esterna a una circonferenza ha distanza dal centro della circonferenza MAGGIORE del raggio.
⇒ Retta tangente a una circonferenza è una retta che ha in COMUNE con la circonferenza UN SOLO punto. Di conseguenza, la distanza di un retta tangente dal centro della circonferenza è UGUALE al raggio. Inoltre il raggio condotto per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.
⇒Retta secante una circonferenza ha con essa due punti in comune e la distanza tra la retta e O è MINORE del raggio.
CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI : TANGENTI A UNA CIRCONFERENZA PER UN PUNTO
Come detto poco sopra, nel caso una retta sia tangente ad una circonferenza esse hanno un punto in comune. Può però esservi richiesto di trovare le tangenti alla circonferenza passanti per un punto dato. Possono presentarsi TRE CASI:
-
PUNTO INTERNO ALLA CIRCONFERENZA
Se P è interno alla circonferenza, non esistono rette tangenti alla circonferenza passanti per P
2) PUNTO SULLA CIRCONFERENZA
Se P appartiene alla circonferenza, allora esiste un’UNICA retta tangente alla circonferenza stessa e passante per P: la retta ortogonale al raggio OP:
3) PUNTO ESTERNO
Se infine il punto P è ESTERNO alla circonferenza, allora esistono due rette tangenti alla circonferenza e passanti per P. I segmenti che congiungono P ai punti di contatto delle due tangenti si chiamano segmenti di tangenza
Vale inoltre il seguente TEOREMA:
TEOREMA: Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza le due rette tangenti, i segmenti di tangente sono congruenti e la semiretta con origine in P e passante per il centro della circonferenza è la BISETTRICE dell’angolo formato dalle due tangenti
CIRCONFERENZA e SUOI ELEMENTI : POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE
Vediamo quali posizioni possono assumere due circonferenze
⇒ Due circonferenze sono esterne l’una all’altra se la distanza tra i loro centri O e O’ è maggiore della somma dei loro raggi r e r’ (OO’ > r+r’)
Ovvero : due circonferenze sono ESTERNE se non hanno punti in comune e il centro di ognuna di esse è esterno all’altra
⇒ Due circonferenze sono tangenti esternamente se la distanza tra i loro centri è uguale alla somma dei loro raggi (OO’ = r+r’)
In altre parole: due circonferenze sono TANGENTI ESTERNAMENTE se hanno un solo punto in comune e il centro di ognuna di esse è esterno all’altra
⇒ Due circonferenze sono secanti se la distanza tra i loro centri è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza (r-r’ < OO’ < r+r’)
In pratica : due circonferenze secanti hanno due punti in comune
⇒ Due circonferenze sono tangenti internamente se la distanza tra i loro centri è uguale alla differenza tra i raggi (OO’ = r-r’)
Ovvero: due circonferenze sono tangenti internamente se il centro di una delle due è interno all’altra ed hanno un solo punto di tangenza
⇒ Due circonferenze sono una interna all’altra se la distanza tra i loro centri è minore della differenza tra i raggi (OO’ < r-r’).
⇒ Infine, diciamo che due circonferenze sono concentriche se hanno i centri coincidenti (hanno lo stesso centro)
Nel caso di due circonferenze concentriche, CORONA CIRCOLARE è la parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche.
Nei prossimi giorni cercherò di postarvi qualche esercizio per rivedere insieme tutti questi concetti!