Qualche tempo fa avevamo iniziato a parlare di equazioni. Oggi riprendiamo l’argomento e vediamo come sia possibile utilizzare questo importante strumento matematico per risolvere problemi di varia natura, in particolare geometrici. Inizieremo però con problemi di tipo numerico e poi passeremo a problemi legati alla realtà e a problemi geometrici
EQUAZIONI E PROBLEMI NUMERICI : che cos’è un’equazione
Prima di passare all’argomento principale del nostro articolo, ricordiamo che
un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per la quale ci chiediamo se esistono valori che, sostituiti a una o più lettere, la rendono vera
Chiamiamo:
- soluzioni o radici i valori, da attribuire alle lettere, che rendono uguali il primo e il secondo membro dell’equazione;
- incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni
Risolvere un’equazione vuol dire trovarne tutte le soluzioni, cioè trovare tutti gli elementi che appartengono all’insieme delle soluzioni dell’equazione.
Inoltre diciamo intera un’equazione in cui le incognite non compaiono nei denominatori. Se invece le incognite compaiono ad almeno un denominatore, l’equazione si dice fratta (o frazionaria).
Ricordiamo infine che un’equazione è:
- determinata se ha un numero finito di soluzioni;
- indeterminata se le soluzioni sono infinite;
- impossibile se non ha soluzioni.
Nel caso di un’equazione di PRIMO GRADO, del tipo ax = b abbiamo
REGOLE PER RISOLVERE UN’EQUAZIONE
Senza stare a ricordarvi i principi da cui discendono (vedi QUI), vi riporto le regole che di solito utilizziamo per risolvere un’equazione di qualsiasi grado:
⇒ REGOLA DEL TRASPORTO:
data un’equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro all’altro, cambiandolo di segno.
⇒ REGOLA DI CANCELLAZIONE::
termini uguali presenti in entrambi i membri di un’equazione possono essere soppressi, ottenendo un’equazione equivalente
⇒ DIVISIONE PER UN FATTORE COMUNE (non nullo) :
Se tutti i termini di un’equazione hanno un fattore numerico comune (diverso da 0), si ottiene un’equazione equivalente dividendo tutti i termini per quel fattore.
⇒ REGOLA DEL CAMBIAMENTO DI SEGNO :
cambiando segno a tutti i termini di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente
EQUAZIONI E PROBLEMI NUMERICI: SCHEMA DI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
- Richieste Scrivere quali sono le richieste del problema.
- Incognita Porre x =
- Relazioni Scrivere le relazioni fornite dal problema, utilizzando
- Equazione risolvente A partire dalle relazioni, ricavare l’equazione risolvente in x.
- Condizioni Porre poi le condizioni di accettabilità dei risultati.
- Risoluzione Risolvere l’equazione.
- Controllo Controllare se la soluzione è accettabile o no in base alle condizioni precedenti.
- Risposta Determinare i valori dei risultati richiesti al punto 1.
Vediamo come si procede con qualche esempio
Problema 1
La somma delle lunghezze di due segmenti AB e CD è 41 cm. Il segmento AB supera di 8 cm la metà del segmento CD. Quanto misurano i due segmenti?
Come sempre quando si tratta di problemi geometrici, il mio consiglio è di DISEGNARE la situazione che ci viene proposta. In questo caso, disegniamo i due segmenti AB e CD
Il problema ci chiede di trovare le lunghezze di AB e CD
Chiamiamo una delle due x, ad esempio, poniamo
AB = x
Scriviamo le relazioni fornite nel problema:
AB + CD = 41 cm
AB = ½ CD + 8 cm
Sostituiamo ad AB il suo “nuovo” nome. Otteniamo:
x + CD = 41 cm
x = ½ CD + 8 cm
Ricaviamo ora CD in funzione di x dalla prima relazione:
CD = 41 – x
Sostituiamolo nella seconda:
x = ½ (41-x) + 8
Risolviamo l’equazione :
2x = 41 – x + 16
3x = 57 è x = 19 cm >0 la soluzione è accettabile perché non possiamo avere lunghezze negative!
Sostituiamo questo valore nell’espressione di CD :
CD = 41 – 19 = 22 cm
Le soluzioni richieste sono quindi
- AB = 19 cm
- CD = 22 cm
PROBLEMA 2
Trovare due numeri naturali, sapendo che il primo è il triplo del secondo e che la loro somma è 25.
SVOLGIMENTO
Chiamiamo i due numeri a e b. Il problema ci dice che, se a è il più piccolo, risulta b = 3a.
Sappiamo inoltre che a + b = 25
Scegliamo ora l’incognita del nostro problema, ponendo ad esempio
a = x
Le relazioni scritte prima diventano
b = 3x
x + 3x= 25 → 4x = 25 → x = 25/4
Il secondo numero è invece
b = 3 ∘ 25/4 = 75/4
Siccome però non sono numeri naturali, il problema non ammette soluzioni in ℕ
Nel pdf allegato trovate tanti problemi numerici da risolvere con le equazioni, molto più divertenti di questi che vi ho proposto.
PROBLEMI numerici ED EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
PROBLEMI numerici ED EQUAZIONI DI PRIMO GRADO le soluzioni