Oggi finalmente entriamo nel vivo della trigonometria, introducendo le cosiddette funzioni goniometriche o circolari. Sono solo tre: da esse possiamo poi ricavare anche le altre. Siccome l’argomento è importantissimo, lo tratteremo con la dovuta calma, in modo da avere il tempo di assimilare bene questi concetti fondamentali, non solo per la matematica, ma per tutte le “scienze esatte”! Infatti incontrerete questo tipo di funzioni anche in Chimica e Fisica, tanto per fare un esempio!
la lezione in formato stampabile
FUNZIONI GONIOMETRICHE 1: la circonferenza goniometrica.
Definiamo CIRCONFERENZA GONIOMETRICA una circonferenza con raggio r = 1 (raggio unitario) e centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani.
Una tale circonferenza ha equazione:
x² + y² = 1
Utilizzando la circonferenza goniometrica, possiamo rappresentare gli angoli orientati, prendendo come lato origine l’asse x. In questo modo, a ogni angolo corrisponde un punto di intersezione B fra la circonferenza e il lato termine:
Il punto (1;0) si chiama ORIGINE DEGLI ARCHI.
FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 : seno coseno e tangente
Vediamo ora come associare a ogni angolo tre numeri : seno, coseno e tangente dell’angolo. Tali valori dipendono solo dall’ampiezza dell’angolo stesso.
Dato un angolo α, riferiamolo a un sistema di assi cartesiani ortogonali in modo che si trovi in posizione normale (cioè con il primo lato sull’asse x) e tracciamo la circonferenza goniometrica.
Il vertice di α coincide con l’origine del sistema di assi cartesiani O e il suo primo lato coincide con il semiasse positivo delle x.
Chiamiamo A (1;0) il punto d’intersezione del primo lato dell’angolo con la circonferenza goniometrica e P il punto d’intersezione del secondo lato dell’angolo con la circonferenza goniometrica.
La posizione di A è fissa mentre quella di P varia al variare dell’angolo α.
Definiamo :
- seno di α l’ordinata del punto P : sin α = yP
- coseno di α l’ascissa di P : cos α = xP
- tangente di α il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di P
Seno, coseno e tangente di un angolo α variano in funzione dell’angolo e sono perciò chiamate FUNZIONI GONIOMETRICHE di α.
NOTA: Il punto P, le cui coordinate definiscono coseno e seno di α, è detto PUNTO ASSOCIATO all’angolo α.
Siccome P appartiene alla circonferenza goniometrica (che ha raggio 1), l’ascissa di P (cioè il coseno di α) e l’ordinata di P (cioè il seno di α) variano tra −1 e 1, potendo anche essere uguali a −1 o a 1.
In pratica, un punto B della circonferenza goniometrica, è rappresentato nel piano cartesiano dalle sue coordinate espresse in termini di coseno e seno
B (cos α; sin α)
Dunque per ogni angolo α abbiamo :
- -1 ≤ sinα ≤ 1
- -1 ≤ cos α ≤ 1
La tangente di un angolo, definita come RAPPORTO tra il seno e il coseno di quell’angolo, è definita se il coseno dell’angolo è DIVERSO da ZERO:
FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 : Le variazioni delle funzioni seno e coseno
Vediamo meglio quanto accennato sopra riguardo alle funzioni seno e coseno.
Supponiamo che un punto B percorra l’intera circonferenza goniometrica, a partire da E, in verso antiorario. Finché B percorre il primo quarto di circonferenza (cioè l’angolo aumenta da 0 a 90°), la sua ascissa xB e la sua ordinata yB sono positive. Man mano che B si avvicina al punto F, l’ascissa diminuisce e l’ordinata aumenta. In F risulta
xF = 0, yF =1.
Quando B percorre la circonferenza nel secondo quadrante (cioè l’angolo si muove da 90° a 180°), la sua ordinata è ancora positiva, mentre l’ascissa diventa negativa. Quando B si avvicina a G, sia l’ascissa sia l’ordinata diminuiscono.
In G abbiamo
xG = – 1, yG = 0.
Nel momento in cui B si trova nel terzo quadrante (cioè l’angolo è compreso tra 180° e 270°), la sua ordinata e la sua ascissa sono negative.
Man mano che B si avvicina a H, l’ascissa aumenta e l’ordinata diminuisce.
In H risulta
xH = 0, yH = –1.
Quando B percorre l’ultimo quarto di circonferenza, ovvero B si trova nel IV quadrante e l’angolo è compreso tra 270° e 360°, la sua ordinata è ancora negativa, mentre l’ascissa diventa positiva. Avvicinandosi a E, sia l’ascissa sia l’ordinata di B aumentano.
In E sappiamo che
xE = 1, yE = 0.
FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 : il grafico del seno e del coseno
Come vedremo meglio in seguito, risulta:
cos α = cos(- α)
ovvero: il coseno è una funzione pari.
Essendo invece
sen(- α) = -sen α
allora il seno è una funzione dispari.
Possiamo costruire così il grafico delle funzioni y = sin x e y = cos x in [0; 2π] riportando sull’asse x i valori degli angoli e, in corrispondenza, sull’asse y le ordinate dei punti che stanno sulla circonferenza goniometrica oppure le ascisse dei punti della circonferenza goniometrica in corrispondenza degli angoli.
NOTA :
- per costruire il grafico del seno riportiamo sull’asse y i valori delle ORDINATE dei punti della circonferenza goniometrica. Il grafico completo della funzione seno prende il nome di SINUSOIDE
- per costruire il grafico del coseno riportiamo sull’asse y i valori delle ASCISSE dei punti della circonferenza goniometrica. Il grafico completo del coseno prende il nome di COSINUSOIDE
Otteniamo:
Dopo aver percorso un giro completo, il punto B può ripetere lo stesso movimento quante volte vogliamo. Le funzioni sen x e cos x assumono di nuovo gli stessi valori ottenuti al «primo giro», ossia:
- sin α = sin (α + 2π) = sin (α + 4π) = sin (α + 6π) = …..
- cos α = cos (α + 2π) = cos (α + 4π) = cos (α + 6π) = …..
Le funzioni seno e coseno sono quindi periodiche di periodo 2π. Possiamo scrivere, in modo sintetico:
- sin (α + 2kπ) = sin α ∀α ⋴ R, ∀k ⋴ Z
- cos (α + 2kπ) = cos α ∀α ⋴ R, ∀k ⋴ Z
Essendo quindi due funzioni periodiche di periodo 2π, i grafici si ottengono ripetendo ogni 2π i grafici relativi all’intervallo [0; 2π].
Bibliografia
- Sasso, C. Zanone, I COLORI DELLA MATEMATICA – Petrini
- Bergamini, G. Barozzi, A. Trifone : Matematica blu 2.0 – Zanichelli
- Raffaele Monaco, Joe Rajola: trigonometria vol 1 – 2019