Nei giorni scorsi abbiamo parlato di NUMERI DECIMALI
Oggi ci occupiamo di particolari numeri decimali, i PERIODICI. Vediamo di che cosa si tratta
NUMERI PERIODICI SEMPLICI E MISTI : che cosa sono I NUMERI PERIODICI
Come accennavamo, i numeri decimali periodici sono una particolare classe di decimali. Ricordiamo che i numeri decimali sono quei numeri formati da una parte intera e da una decimale, separate da una virgola:
I periodici hanno la caratteristica che la loro parte DECIMALE, da un certo punto in poi, si ripete all’infinito.
La sequenza di numeri che si ripete viene detta PERIODO.
Esistono due tipi di numeri periodici:
- SEMPLICE: ad esempio 1,5555… oppure 1,223223223… il cui periodo è 223
La notazione che viene usata per scrivere con la tastiera questi tipi di numeri è la seguente: 1,2222 = 1,(2) e 1,232323 = 1,(23) - MISTO : ad esempio 27,47 232323, che è formato da una parte intera 27, dall’antiperiodo 47 e dal periodo 23
La notazione che viene usata per scrivere questi tipi di numeri è la seguente: 11,13(23)
Come i numeri decimali, anche i numeri periodici possono essere trasformati in frazioni, dette frazioni GENERATRICI. Vediamo come
NUMERI PERIODICI SEMPLICI E MISTI : la frazione generatrice
Dobbiamo distinguere due casi, a seconda che il numero periodico da trasformare sia SEMPLICE o MISTO.
NUMERO PERIODICO SEMPLICE
Per un numero periodico semplice, la frazione generatrice è una frazione avente
- NUMERATORE : la differenza tra il numero scritto senza virgola e la parte intera
- DENOMINATORE : tanti 9 quante sono le cifre del periodo
Ad esempio, il numero 1,(23) ha come frazione generatrice:
- NUMERATORE : 123 – 1 = 122
- DENOMINATORE : 99 (il periodo è formato da due cifre)
Ovvero : 1, (23) = 122/99
NUMERO PERIODICO MISTO
Per un numero periodico misto, la frazione generatrice è una frazione avente
- NUMERATORE : la differenza tra il numero scritto senza virgola e tutto quello che precede il periodo (parte intera e antiperiodo)
- DENOMINATORE : tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo
Vi ricordo che si chiama antiperiodo tutto quello che sta tra la virgola e il periodo!
Ad esempio, il numero 11,25 (23) è formato da una parte intera (11), da un antiperiodo (25) e dal periodo 23. Esso ha come frazione generatrice:
- NUMERATORE : 112523 -1125 = 111398
- DENOMINATORE : 9900 ( ho due cifre del periodo e due dell’antiperiodo)
ovvero : 11,25 (23) = 111398/9900
NUMERI PERIODICI SEMPLICI E MISTI: DALLA FRAZIONE AL NUMERO
Per eseguire il passaggio dalla frazione al numero, ci basta dividere il numeratore per il denominatore. Prima di effettuare la divisione, però, possiamo stabilire che tipo di numero otterremo.
NOTA : Anche se ancora non abbiamo parlato di frazioni ridotte ai minimi termini, di scomposizione in fattori primi e di MCD e mcm, do per scontato che sappiate di che cosa sto parlando. Comunque ne parleremo presto!
Dopo aver ridotto la frazione data ai minimi termini, osserviamo il denominatore.
- Se esso è formato da 1, allora otterremo un numero INTERO
- Se il denominatore è diverso da 1, dobbiamo scomporlo in fattori primi:
- se compaiono solo i fattori 2 e 5, allora otterremo un numero decimale limitato (0,1; 37,457; ecc)
- Se tra i fattori NON troviamo 2 e 5, allora otterremo un numero periodico SEMPLICE [1, (23), 17, (45), ecc…]
- se tra i fattori compaiono ANCHE 2 e 5 insieme ad altri, allora otterremo un numero periodico MISTO
NUMERI PERIODICI SEMPLICI E MISTI: ESEMPI
ESEMPIO 1
Vogliamo stabilire che tipo di numero otterremo da 3/8, scomponiamo 8 in fattori primi :
8 = 2³
Siccome compare solo il fattore 2, otterremo un numero decimale limitato. Eseguendo la divisione, infatti, abbiamo 3/8 = 0,375
Se la frazione fosse 5/9, allora scomponendo 9 in fattori primi avremmo:
9 = 3²
Otterremo quindi un numero periodico semplice, visto che compare solo il fattore 3.
Infatti:
5:9 = 0,55555…. = 0, (55)
ESEMPIO 2
Vogliamo sapere che tipo di numero decimale otterremo dalla frazione 43/21.
Scomponendo 21 in fattori primi abbiamo:
21 = 3 x 7
Siccome non compaiono né 2 né 5 oltre ai fattori 3 e 7, allora anche in questo caso otterremmo un numero periodico semplice. Infatti:
43 : 21 = 2, (047619)
ESEMPIO 3
Supponiamo ora di voler trasformare in numero decimale la frazione 5/6. Scomponiamo 6 in fattori primi:
6 = 2 x 3
Siccome oltre al tre compare anche il fattore 2, otterremo un periodico MISTO. Infatti
5 : 6 = 0, 8(3)
NUMERI PERIODICI SEMPLICI E MISTI: ESERCIZI
Ricordate: l’unico modo per imparare davvero le regole è quello di applicarle. Per questo è importante che svolgiate qualche esercizio ogni volta che affrontate un nuovo argomento di matematica (in generale questo è vero per tutte le materie!)
Nel pdf troverete tanti esercizi per fare pratica : NUMERI PERIODICI
Se avete difficoltà, non esitate a contattarci! Vi risponderemo nel minor tempo possibile
ESERCIZIO 1 : Determina la frazione generatrice di ciascun numero e verifica il risultato.
- 3
- 8
- 5,4
- 0,7
- 1,35
- 6,182
ESERCIZIO 2: Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico SEMPLICE. Verifica il risultato, eseguendo la divisione
ESERCIZIO 3 : Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico MISTO. Verifica il risultato, eseguendo la divisione
