Ieri abbiamo cominciato ad occuparci del calcolo letterale ed abbiamo introdotto i monomi. Oggi completiamo la trattazione parlando dei polinomi.
Ricordiamo che con il termine “calcolo letterale” intendiamo qualsiasi operazione algebrica tra numeri e lettere.
POLINOMI E OPERAZIONI CON ESSI : i polinomi
Per definizione :
Un polinomio è la somma algebrica di più monomi NON SIMILI
Ad esempio :
+4x2+ 36xy – 9y2+12
è un polinomio formato da quattro termini legati tra loro da segni + e –
Un polinomio può anche contenere monomi simili:
6a4b2-3a3b5 + 2a4b2
In questo caso si sommano i monomi simili. Il polinomio che si ottiene è
8a4b2-3a3b5
Esso si dice ridotto a forma normale (o semplicemente ridotto).
Due polinomi ridotti a forma normale, e non nulli, sono uguali quando i monomi del primo polinomio sono uguali ai monomi del secondo polinomio, indipendentemente dall’ordine in cui sono scritti
RICORDA: Per un polinomio ridotto a forma normale, valgono le seguenti definizioni
- BINOMIO = polinomio formato da DUE monomi : -9y2+12ab
- TRINOMIO = polinomio formato da TRE monomi : a+2b – a³b²
- QUADRINOMIO = polinomio formato da QUATTRO monomi : +4x2+ 36xy – 9y2+12
POLINOMI E OPERAZIONI CON ESSI : GRADO COMPLESSIVO E RELATIVO di un polinomio
Come nei monomi, anche nei polinomi abbiamo due “differenti” tipi di grado.
- Il grado complessivo di un polinomio è il maggiore fra i gradi dei monomi che lo costituiscono;
- grado relativo rispetto a una lettera è invece il massimo esponente con cui quella lettera compare.
Ad esempio :
- x3– 3x2y + 3xy3– y3 è un polinomio di quarto grado perché 3xy3 è un monomio di quarto grado
- – 2ab3+ 7a2b6c : è un polinomio di secondo grado rispetto alla lettera a e di sesto grado rispetto alla lettera b. Il grado complessivo è invece il nono, essendo 7a2b6c un monomio di NONO grado
ESEMPIO
Calcoliamo il grado del polinomio x2 – xy – 2.
- I monomi x2 e −xy hanno entrambi grado 2.
- Il monomio −2 non contiene lettere, allora il suo grado è 0.
Il grado del polinomio x2 − xy − 2 è 2.
QUALCHE DEFINIZIONE :
⇒ Un polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti o crescenti di una lettera se gli esponenti della lettera stessa si succedono in modo decrescente o crescente.
AD ESEMPIO, il polinomio
+ 8a3– 12a2b + 6ab2– b3
è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a e crescenti della lettera b.
⇒ Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
Per esempio, il polinomio
+9x2y2-4x3y-6xy3+5y4-5x4
è un polinomio omogeneo di quarto grado. Infatti tutti i monomi che lo costituiscono sono di QUARTO GRADO
POLINOMI E OPERAZIONI CON ESSI : LE OPERAZIONI CON I POLINOMI
Tra i polinomi possiamo eseguire la somma algebrica, la moltiplicazione per un monomio o per un altro polinomio. E’ poi possibile la divisione con un monomio e quella per un altro polinomio, che però richiede qualche piccolo accorgimento.
Sappiamo poi che esistono quelli che si chiamano PRODOTTI NOTEVOLI. Sono regole pratiche che ci permettono di calcolare velocemente il risultato di particolari moltiplicazioni
⇒ ADDIZIONE TRA POLINOMI
Per addizionare due polinomi si scrivono i due polinomi uno di seguito all’altro e poi si sommano i monomi simili.
(4ab3+12b2-6ab)+(-2b2-2ab-6+3a) = 4ab3+12b2-6ab-2b2-2ab-6+3a = 4ab3+10b2-8ab-6+3a.
In pratica, per sommare due polinomi dobbiamo procedere come nell’esempio seguente:
Il risultato dell’addizione è il polinomio ridotto
a − 4b + c.
⇒ SOTTRAZIONE TRA POLINOMI
La differenza tra due polinomi si presenta con un segno meno davanti a una parentesi che racchiude un polinomio. Per eliminare le parentesi dobbiamo cambiare il segno di tutti i termini racchiusi dalle parentesi e poi procedere sommando i monomi simili.
La regola dice che :
La differenza di due polinomi è un polinomio che si ottiene addizionando al primo (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo).
Ad esempio : vogliamo sottrarre i due polinomi seguenti
(4ab3+12b2-6ab) -(-2b2-2ab-6+3a)
Cambiamo di segno al polinomio preceduto dal segno meno e poi sommiamo i monomi simili :
4ab3+12b2-6ab+2b2+2ab+6-3a = 4ab3+14b2-4ab+6-3a.
In pratica, per eseguire la sottrazione tra due polinomi, procediamo come nello schema seguente:
Il risultato della sottrazione è il polinomio 3a + 6b − c.
⇒ MOLTIPLICAZIONE PER UN MONOMIO
Per moltiplicare un polinomio per un monomio basta moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio.
Ad esempio :
a(x+y+2x2)= ax+ay+2ax2
⇒ MOLTIPLICAZIONE TRA POLINOMI
Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo e poi si esegue la somma algebrica tra i monomi simili ottenuti.
(a+b+c) (x+y) = ax+ay+bx+by+cx+cy
Per moltiplicare tre o più polinomi, invece moltiplichiamo il primo polinomio per il secondo, il polinomio ottenuto per il terzo e così via. Dopo ogni prodotto è utile eseguire l’addizione algebrica dei monomi simili.
Ad esempio, proviamo a moltiplicare tra loro i tre binomi seguenti
(a+b)(x+y)(m+n)
Moltiplichiamo i primi due binomi e riduciamo i termini simili. Otteniamo:
(ax+ay+bx+by)(m+n)
Ora ci basta moltiplicare il quadrinomio ottenuto per il binomio rimasto
axm+axn+aym+ayn+bxm+bxn+bym+byn
PRODOTTI NOTEVOLI
La moltiplicazione fra particolari polinomi permette di individuare regole che rendono il calcolo più semplice. Queste moltiplicazioni prendono il nome di prodotti notevoli.
Ne parleremo dettagliatamente nella prossima lezione
⇒ DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO
Per dividere un polinomio per un monomio, non nullo, si divide ciascun termine del polinomio per il monomio.
Ad esempio:
(4ab3+12b2-6ab2):(-2b2)=-2ab-6+3a
In questo caso si dice che il polinomio è DIVISIBILE per il monomio.
RICORDA :
Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.
Un polinomio è divisibile per un monomio se ogni suo termine è divisibile per tale monomio.
Quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.
In pratica:
Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione.
Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio, dà come risultato il polinomio dividendo; il monomio si dice divisore del polinomio.
Inoltre:
- Poiché ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da zero, allora anche ogni polinomio è divisibile per un qualsiasi numero diverso da zero.
- Un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni fattore del monomio divisore compare, con grado uguale o maggiore, in ogni monomio del polinomio dividendo.
- La divisione tra un polinomio e un qualsiasi monomio non nullo è sempre possibile, tuttavia il risultato è un polinomio solo nel caso in cui il monomio sia divisore di tutti i termini del polinomio.
- Il quoziente tra un polinomio e un monomio suo divisore è un polinomio ottenuto dividendo ogni termine del polinomio per il monomio divisore
Della divisione tra polinomi parleremo invece in una prossima lezione