Rivediamo velocemente alcuni concetti di calcolo letterale, su cui poi torneremo con più calma in futuro. In questo momento i miei ragazzi mi stanno facendo impazzire con equazioni e disequazioni, alle quali dedicheremo parecchio tempo nei prossimi giorni.
Per questo abbiamo bisogno di un rapido ripasso del calcolo letterale. Ci dedicheremo però con maggiore attenzione alla scomposizione dei polinomi!
MONOMI ED OPERAZIONI TRA MONOMI: il calcolo letterale
Con il termine “calcolo letterale” intendiamo qualsiasi operazione algebrica tra numeri e lettere.
Si tratta di uno strumento fondamentale della matematica, che ci permette di svolgere calcoli complessi in maniera facile e veloce.
Scoprirete quanto è utile per il calcolo delle equazioni e per risolvere problemi complessi e fare previsioni di fenomeni naturali.
Con il termine espressione algebrica letterale intendiamo un insieme di numeri e lettere legati tra loro da segni di operazione
iL CALCOLO LETTERALE, insieme alla TEORIA DI SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI, fa parte dell’algebra classica, che estende le operazioni aritmetiche tramite l’introduzione di oggetti simbolici, le variabili.
I concetti di base del calcolo letterale sono due : monomi, polinomi.
Ad essi vanno aggiunti poi le frazioni algebriche e i metodi di semplificazione delle espressioni.
MONOMI ED OPERAZIONI TRA MONOMI : Monomi
Un monomio è un’espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dall’operazione di moltiplicazione. Per esempio
-3a4b
è un monomio. Il numero -3 prende il nome di coefficiente mentre la parte restante a4b si chiama parte letterale.
Un monomio scritto in forma normale è formato da tre parti: segno, coefficiente numerico e parte letterale.
Possiamo individuare
- il grado del nostro monomio per tutte le lettere che lo compongono leggendo l’esponente
- il grado complessivo, dato dalla somma degli esponenti delle singole lettere.
Il monomio dell’esempio ha grado complessivo pari a (2+1 +3 ) = 6
Il segno di un monomio è il segno del suo coefficiente numerico.
Come sempre, se il monomio non ha nessun coefficiente e nessun segno, stiamo sottintendendo il coefficiente +1 :
x2y3 e a2b hanno come coefficiente +1
Se invece il monomio è preceduto dal segno “-“ , stiamo sottintendendo il coefficiente 1. Per esempio il monomio –abc4 ha coefficiente numerico -1.
RICORDA :
- Il grado di un monomio rispetto a un lettera (detto RELATIVO) è l’esponente con cui questa è presente nel monomio.
- Il grado complessivo o totale di un monomio è la somma degli esponenti delle varie lettere che in esso compaiono.
Per esempio +x2y3 è di grado due rispetto alla x, di grado tre rispetto alla y, il grado complessivo è cinque. Il monomio -3a4b ha grado complessivo 5 perché a ha grado 4 e b ha grado 1.
ESEMPIO : Individua il grado del monomio seguente:
x³yz4
Ci basta sommare gli esponenti delle lettere, ricordando che se non è indicato nessun esponente si sottintende 1:
3 + 1 + 4 = 8 ⇒ il monomio dato è quindi di grado 8
MONOMI ED OPERAZIONI TRA MONOMI : monomi simili, opposti e uguali
⇒ Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti a meno dell’ordine con cui compaiono le lettere.
+6b3a2 e –3a2b3 sono simili : hanno infatti la STESSA PARTE LETTERALE
⇒Due monomi si dicono opposti se sono simili (hanno cioè la stessa parte letterale) e hanno coefficienti opposti. Ad esempio:
+ 4x5y2 e – 4x5y2 sono opposti: hanno la stessa parte letterale e coefficienti numerici OPPOSTI.
In pratica, due monomi opposti differiscono SOLO per il SEGNO!
⇒ Due monomi si dicono uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente.
-3ab e -3ab sono uguali : hanno la stessa parte letterale e lo stesso coefficiente numerico
MONOMI ED OPERAZIONI TRA MONOMI : le operazioni
Con i monomi è possibile svolgere:
- somma algebrica
- moltiplicazione
- divisione
- elevamento a potenza.
⇒ L’addizione algebrica di due monomi si può effettuare solo tra monomi simili.
Il risultato è un monomio avente
- la stessa parte letterale degli addendi
- come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.
RICORDA : Se i monomi non sono simili non è possibile effettuare l’addizione e l’operazione si lascia indicata.
Ad esempio:
- -3 x3y2z+5 x3y2z = i monomi sono simili = (-3+5) x3y2z = +2 x3y2z
- +4xy+4x2y rimane indicata
⇒ La moltiplicazione di due o più monomi si può sempre effettuare
Il prodotto è un monomio che ha
- per coefficiente il prodotto dei coefficienti
- come parte letterale il prodotto delle parti letterali dei vari monomi. Nella parte letterale del prodotto compariranno tutte le lettere presenti nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta, con esponente uguale alla somma degli esponenti della stessa lettera.
Ad esempio :
+3 ab3×( -2 ab2) = (+3) (-2) a1+1 b3+2 = (+3) (-2) a2 b5
⇒ La divisione di due monomi, con il secondo non nullo, ha come quoziente un monomio avente
- per coefficiente il quoziente dei coefficienti
- come parte letterale tutte le lettere presenti nel dividendo, ciascuna scritta una sola volta, con esponente uguale alla differenza fra gli esponenti della stessa lettera.
Ad esempio :
+72x3y4z5: (+8x3y3) = (+72):(+8) x(3-3)y(4-3)z5 = +9 x0y1z5 = + 9yz5.
⇒ La potenza di un monomio è un monomio che ha
- per coefficiente il coefficiente elevato all’esponente della potenza
- come parte letterale tutte le lettere, con esponente pari al prodotto tra i loro esponenti e quello della potenza.
(-5x3yz5)2 = (-5)2x3×2 y1×2 z5×2 = +25 x6y2z10
⇒ MONOMI ED OPERAZIONI TRA MONOMI : M.C.D. e m.c.m. TRA MONOMI
Tra due o più monomi è possibile calcolare il massimo comun divisore (M.C.D.) e il minimo comune multiplo (m.c.m.).
⇒ M.C.D. di due o più monomi = monomio che tra tutti i divisori comuni ai monomi dati ha il grado più alto.
Il coefficiente del massimo comune divisore è:
- uguale al M.C.D. dei coefficienti di ciascun monomio, presi con il segno positivo, se tutti hanno come coefficiente numeri interi;
- uguale a 1 per convenzione in tutti gli altri casi.
La parte letterale è composta da tutti i fattori letterali comuni ai monomi, presi una sola volta con il minimo esponente.
Esempio
Il massimo comun divisore dei monomi 1/3 ax²y³; –6x³y; –abx²y³ è x²y.
Infatti, siccome i coefficienti non sono tutti numeri interi, come coefficiene del M.C.D. prendiamo 1. Consideriamo la parte letterale: ax²y³; x³y; abx²y³; le lettere comuni a tutti e tre i monomi sono x e y:
- x è comune a tutti e tre i monomi con l’esponente minimo uguale a 2: x² è il fattore comune.
- y è comune a tutti e tre i monomi con l’esponente minimo uguale a 1: y è il fattore comune.
⇒ m.c.m. di due o più monomi è il monomio di grado più basso, che è divisibile per ognuno dei monomi dati.
Il coefficiente del minimo comune multiplo è
- uguale al m.c.m. dei coefficienti di tutti i monomi, preso con il segno positivo, se tutti hanno come coefficiente numeri interi;
- uguale a 1 per convenzione in tutti gli altri casi.
La parte letterale è composta da tutti i fattori letterali comuni e non comuni ai monomi, presi una sola volta con il massimo esponente.
Esempio
Il minimo comune multiplo dei monomi 4 x²y; –3 ax³; 6 y³ è 12ax³y³.
Nel pdf allegato trovate tutta la teoria del calcolo letterale, compresi i polinomi