In precedenza abbiamo visto come moltiplicare un vettore per un numero. Oggi ci occupiamo di come possiamo moltiplicare due vettori tra loro.
PRODOTTO SCALARE E VETTORIALE : il PRODOTTO SCALARE
Il prodotto scalare
tra due vettori è un numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo sul primo:
Il prodotto scalare trasforma due vettori in un numero e ci dà la misura di quanto essi siano ≪concordi≫:
- se i vettori sono paralleli e di verso concorde, il prodotto scalare è massimo ed è uguale al prodotto tra i moduli dei due vettori;
- se i due vettori sono paralleli e di verso opposto, il prodotto scalare è minimo e corrisponde al valore del caso precedente con il segno meno;
- se i due vettori sono perpendicolari il prodotto scalare è nullo
Le situazioni intermedie si ottengono con le regole della trigonometria, che danno la formula generale del prodotto scalare:
In Fisica incontreremo diverse grandezze che sono definite come prodotto scalare di due vettori. Un esempio è il LAVORO, definito come il prodotto scalare di una forza per uno spostamento:
Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:
• commutativa:
• distributiva rispetto alla somma:
In seguito vedremo come esprimere il prodotto scalare mediante le sue componenti cartesiane.
PRODOTTO SCALARE E VETTORIALE : il PRODOTTO VETTORIALE
Un’altra operazione che si può fare con due vettori è il cosiddetto prodotto vettoriale, che restituisce come risultato un vettore perpendicolare al piano individuato dai due vettori.
RICORDA: mentre il risultato del prodotto scalare è un NUMERO (quindi una grandezza SCALARE), il risultato del prodotto vettoriale è un VETTORE!
Dati due vettori 
e 
, si definisce prodotto vettoriale
il vettore perpendicolare al piano individuato dai due vettori dati, con modulo pari all’area del parallelogramma costruito su e e verso dato dalla regola della mano destra:
REGOLA DELLA MANO DESTRA:
se il primo vettore è parallelo all’asse del pollice e il secondo a quello delle altre dita, il prodotto vettoriale è orientato nel verso uscente dal palmo della mano
NOTA BENE:
Se si scambia l’ordine dei due vettori il verso cambia, per cui il prodotto vettoriale NON gode della proprietà commutativa, ma risulta:
In altre parole, il prodotto vettoriale è ANTICOMMUTATIVO.
Il modulo del vettore , è dato dalla formula:
Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:
• anticommutativa (invertendo l’ordine dei vettori il prodotto vettoriale cambia verso)
- distributiva rispetto alla somma:
Anche in questo caso, vedremo in seguito come scriverne l’espressione cartesiana