Dopo aver rivisto insieme le operazioni con i radicali, oggi ci occupiamo di un argomento che in molti trovate “indigesto”: la razionalizzazione dei radicali.
Vediamo insieme in che cosa consiste e come procedere nelle situazioni che si presentano
RAZIONALIZZARE I RADICALI : che cosa significa
La razionalizzazione permette di eliminare i radicali dal denominatore di una frazione. In questo modo, il denominatore diventa un NUMERO RAZIONALE
Le frazioni in cui compaiono radicali al denominatore possono essere trasformate in frazioni in cui i radicali compaiono solo al numeratore. Questa operazione, detta razionalizzazione, si esegue applicando la proprietà invariantiva.
Si possono presentare i seguenti casi:
RAZIONALIZZARE I RADICALI : i casi possibili
CASO 1: il denominatore è una radice quadrata:
con b ≠0. Per razionalizzare, in questo caso, ci basta moltiplicare e dividere il radicale dato per la radice quadrata che compare al denominatore.
CASO 2 : il denominatore è una radice n-sima :
con b ≠0,n>m
In questo caso, per razionalizzare dobbiamo moltiplicare e dividere il radicale dato per un radicale in cui l’esponente del radicando è pari alla differenza tra indice n ed esponente m del radicando. In altre parole, il FATTORE DI RADICALIZZAZIONE è
Otteniamo perciò:
CASO 3: il denominatore è la somma o la differenza tra radicali quadratici, ovvero al denominatore compare la somma o la differenza tra due radici quadrate:
In questo caso, per razionalizzare, dobbiamo moltiplicare e dividere per la differenza o la somma dei radicali al denominatore. Il fattore di razionalizzazione è cioè:
Otteniamo perciò:
Ricordiamo infatti il prodotto notevole
(a+b) (a-b) = a2– b2
In questo caso abbiamo
CASO 4 : IL DENOMINATORE È LA SOMMA O LA DIFFERENZA TRA UN NUMERO E UN RADICALE QUADRATICO
con b>0, c≥0, b – √c≠0
In questo caso, il fattore di razionalizzazione è:
Moltiplicando e dividendo il radicale dato per questo fattore, otteniamo al denominatore il prodotto notevole “somma per differenza”; che ha come risultato la differenza di due quadrati. Otteniamo perciò:
ovvero, riassumendo:
CASO 5 : IL DENOMINATORE È UN BINOMIO CON UNA O DUE RADICI CUBICHE
In questo caso, il fattore di razionalizzazione è :
Ricordiamo infatti il prodotto notevole “somma o differenza di due cubi”
(a3 ± b3) = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2)
Nel nostro caso, (a ± b) corrisponde a
e quindi, per ottenere la somma o differenza tra due cubi, dobbiamo moltiplicare e dividere per il trinomio che compare nello sviluppo del prodotto notevole.
Ritornando al nostro radicale, otteniamo:
In conclusione:
