SOLUZIONE DEI PROBLEMI
Fino a lunedì 17 Agosto saremo in vacanza! Ma, prima di lasciarci per qualche giorno, torniamo a parlare di come risolvere i terribili “problemi”!
Ne abbiamo già parlato, ma ora torniamo ad affrontare l’argomento in maniera più completa.
SOLUZIONE DEI PROBLEMI : che cos’è un problema.
Da un punto di vista matematico:
“problema” è qualsiasi situazione di cui si conoscono alcuni elementi, i DATI, che permettono di trovare poi le INCOGNITE, legate ai dati stessi da PRECISE RELAZIONI.
RISOLVERE UN PROBLEMA significa quindi
- INDIVIDUARE I DATI
- CERCARE LE OPPORTUNE IPOTESI DI SOLUZIONE
- TROVARE LE INCOGNITE
Per risolvere un problema, dobbiamo dunque innanzitutto ANALIZZARE la situazione descritta dal problema, poi fare un’IPOTESI di soluzione e RISOLVERE il problema in base all’ipotesi fatta, infine VERIFICARE la soluzione.
Essendoci tanti tipi di problemi, non esistono regole generali per la loro risoluzione. Però esistono delle tecniche che permettono di individuare più facilmente l’ipotesi per la soluzione del problema.
SOLUZIONE DEI PROBLEMI: IL PROCEDIMENTO
Per trovare le soluzioni di un problema, ovvero le incognite, dobbiamo seguire un preciso procedimento, che prevede diverse tappe :
Innanzitutto dobbiamo leggere attentamente il testo e comprendere quello che ci viene detto, individuando eventuali “dati nascosti” (doppio, triplo, ecc). Una volta trovati tutti i dati del problema e compreso che cosa ci viene chiesto di cercare, dobbiamo tradurre il testo in un linguaggio matematico. In pratica, dobbiamo scrivere dati e incognite!
A questo punto, dobbiamo stabilire quali relazioni esistono tra le incognite e i dati e cercare una tecnica di risoluzione, individuando anche un’ipotesi che ci permetta di arrivare alla soluzione.
Una volta stabilito quale ipotesi seguire (ovvero una volta stabilito come collegare i dati alle incognite), non ci resta che svolgere i calcoli.
Il procedimento può essere descritto come un percorso che ci permette di passare dal problema alla sua soluzione attraverso una fase di analisi (lettura e comprensione), una di formalizzazione, in cui si traduce il testo in un linguaggio matematico, ed una di elaborazione :
PROBLEMA ⇒ ANALISI ⇒ FORMALIZZAZIONE ⇒ ELABORAZIONE ⇒ SOLUZIONE
SOLUZIONE DEI PROBLEMI. FASE 1 : ANALISI E FORMALIZZAZIONE
Come abbiamo già detto, la prima fase consiste nell’attenta lettura del testo del problema, per poter individuare i DATI e le RICHIESTE del problema in esame.
I DATI necessari per la soluzione possono essere
- NUMERICI: sono espressi con un numero
- RELAZIONALI : sono espressi con parole, che indicano una relazione tra i termini (doppio, triplo, coppia, paio, dozzina, settimana,….)
Una volta individuati i dati e le incognite, dobbiamo “formalizzare” il problema, cioè dargli una forma matematica. In altre parole, dobbiamo tradurre il problema in un linguaggio fatto di numeri e simboli.
Vediamo con un esempio come procedere.
Angela riceve in regalo € 15 ed acquista un giornale a € 4, due penne da 0,80 € ognuna e tre quaderni da 1,50 € ciascuno. Quanti soldi le resteranno?
Trascriviamo innanzitutto i dati in forma matematica :
Formalizziamo il problema :
- €A = 15 €
- N p = 2
- C p = 0, 80 €
- NQu = 3
- CQu = 1,50 €
- €rimasti = ???
Dobbiamo ora passare alla seconda fase, quella di elaborazione, che ci porterà alla risoluzione del problema
SOLUZIONE DEI PROBLEMI. FASE 2: ELABORAZIONE
Una volta scritto il testo in un linguaggio matematico e compreso quello che ci viene richiesto di calcolare, dobbiamo decidere come procedere per arrivare alla soluzione (IPOTESI RISOLUTIVA) ed eseguire i calcoli necessari per ottenere la stessa.
La serie ordinata di operazioni che portano dai dati alla soluzione prende il nome di ALGORITMO del problema. Elaborando l’algoritmo, cioè svolgendo i calcoli, otterremo poi la soluzione.
In pratica, la fase di elaborazione consiste nella costruzione di uno “schema risolutivo” e nell’esecuzione dei calcoli.
Tornando all’esempio precedente, per sapere quanto è rimasto ad Angela dopo i suoi acquisti, dovremo calcolare quanto ha speso. Dovremo quindi sommare alla spesa per il giornale, quelle per penne e quaderni.
Per calcolare quanto ha speso per le penne dovremo moltiplicare il costo unitario per due mentre per calcolare quanto ha speso per i quaderni dovremo moltiplicare il costo di ciascun quaderno per il numero di quaderni :
- €rimasti = €A – €spesi
- €spesi = €rivista + €QUAD + €PENNE
- €QUAD = NQu x CQu
- €PENNE = N p x C p
L’algoritmo sarebbe :
- calcolare la spesa per i quaderni
- calcolare la spesa per le penne
- sommare alla spesa per penne e quaderni quella per il giornale
- ottenere gli euro rimasti ad Angela
Non ci resta che svolgere i calcoli per avere la risposta alla domanda posta!
SOLUZIONE DEI PROBLEMI. Problemi ed espressioni
Possiamo spesso rappresentare l’algoritmo risolutivo sotto forma di un’ESPRESSIONE ARITMETICA, che riassume la successione di operazioni che compongono l’algoritmo stesso.
Nel caso dell’esempio, possiamo infatti scrivere :
€rimasti = €A – ( €rivista + NQu x CQu + N p x C p )
Con i numeri :
€rimasti = 15 – ( 4 + 3 x 1,50 + 2 x 0,80) = 15 – ( 4 + 4,50 + 1,60) = 15 – 10, 10 = 4,90 €
SOLUZIONE DEI PROBLEMI. Top down e bottom up
Spesso nella risoluzione dei problemi è utile scomporli in “sottoproblemi” più semplici. L’analisi del problema può quindi essere fatta
- dall’alto verso il basso (TOP DOWN) : si parte dalle richieste per arrivare ai dati
- dal basso verso l’alto (BOTTOM UP) : si parte dai dati per arrivare alle richieste
Nell’esempio visto, noi abbiamo seguito un procedimento “dall’alto verso il basso”. Siamo partiti cioè dalla richiesta e scomposto poi il problema in vari sotto – problemi, che ci permettessero di arrivare alla soluzione:
Il percorso contrario (BOTTOM UP) è quello dell’espressione risolutiva, che dai dati arriva alla soluzione
Di problemi ne faremo tantissimi… Alla prossima lezione invece per rivedere i concetti di divisibilità!!!
E poi ci occuperemo anche di numeri razionali e di numeri relativi per i più grandi!
Buon FERRAGOSTO A TUTTI
