Oggi affrontiamo l’ultima parte della divisione tra polinomi. In particolare presenteremo due teoremi che ci torneranno utili anche in futuro.
Il TEOREMA del RESTO permette di determinare il resto della divisione tra due polinomi senza eseguire la divisione. Invece il TEOREMA di RUFFINI stabilisce un importante criterio di divisibilità. Vediamo meglio i due argomenti.
TEOREMA DEL RESTO E DI RUFFINI : Divisione con resto tra due polinomi in una variabile
Ricordiamo che, per la divisione con resto tra due polinomi, vale il seguente teorema:
Dati due polinomi A e B in una variabile, con B ≠ 0, esistono sempre, e sono unici, due polinomi Q e R tali che:
A = Q ⋅ B + R
R è nullo oppure è un polinomio di grado minore del grado di B.
- Q si dice quoziente
- R si dice resto
Da questo teorema, derivano altri due importanti teoremi, cui abbiamo accennato poco fa.
TEOREMA DEL RESTO E DI RUFFINI : il teorema del resto
⇒ Se un polinomio P(x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per (x – a), il resto della divisione è costante e uguale a P(a).
DIMOSTRAZIONE:
Dal teorema precedente sulla divisibilità tra polinomi, sappiamo che esistono due polinomi Q(x) ed R(x) tali che:
P(x) = Q(x)(x – a) + R(x)
Siccome il divisore è di primo grado, allora R(x) deve essere uguale a zero oppure deve avere grado 0, cioè essere un numero. Chiamiamo questo numero R. Deve quindi valere un’uguaglianza del tipo:
P(x) = Q(x) (x – a) + R
Questa uguaglianza è vera per ogni valore di x. In particolare, con x = a, si ha:
P(a) = Q(a) (a – a) + R = Q(a) • 0 + R
ovvero:
P(a) = R
ovvero, il resto è pari al valore del polinomio per x = a
TEOREMA DEL RESTO E DI RUFFINI : il TEOREMA DI RUFFINI
Sappiamo che:
- un polinomio P(x) è divisibile per (x – a) se e solo se il resto della divisione di P(x) per (x – a) è ZERO;
- per il teorema del resto, il resto della divisione di P(x) per (x – a) è uguale a P(a).
Combinando questi due fatti, otteniamo il criterio per stabilire se un polinomio P(x) è divisibile per un binomio del tipo (x – a).
→ TEOREMA DI RUFFINI : ENUNCIATO
Un polinomio P(x) è divisibile per (x – a) se e solo se P(a) = 0.
Vediamo ora a che cosa ci servono questi due teoremi
APPLICAZIONE DEL TEOREMA DEL RESTO
Troviamo il resto della divisione di P(x) = x4 – 10x2 – 9x + 7 per:
- a) x – 3
- b) x +1
a) Poiché x – 3 è del tipo x – a, con a = 3, per il teorema precedente il resto è uguale a P(3), cioè al polinomio ottenuto sostituendo alla x il valore 3. Otteniamo:
P(3) = 34 – 10 · 32 – 9 · 3 + 7 = 81 – 90 – 27 + 7 = -29
quindi il resto è uguale a -29.
b) Per poter applicare il teorema del resto, dobbiamo riscrivere il binomio divisore nella forma x – a. Abbiamo
x + 1 = x – (-1),
ovvero : a = -1.
Quindi il resto della divisione è uguale a P(-1). Essendo
P(-1) = (-1)4 – 10 · (-1)2 – 9 · (-1) + 7 = 1 – 10 + 9 + 7 = 7
possiamo concludere che il resto è uguale a 7.
ESERCIZIO TIPO
Calcolare il resto delle seguenti divisioni, senza eseguirle
- (5x2 + 6x – 8) : (x – 2)
Per il teorema del resto, sostituiamo alla variabile x il valore 2. Otteniamo così il resto:
P(2) = 5(2)2 + 6∙ 2 – 8 = 24.
- (3y5 – 2y + 4) : (y + 1)
Per poter applicare il teorema del resto, dobbiamo ricondurre il divisore alla forma (y-a). Per fare questo, dobbiamo scrivere (y-(-1)).
A questo punto, sostituiamo a y il valore –1 ed otteniamo il resto:
P(- 1) = 3(- 1)5 – 2(- 1) + 4 = 3.
In pratica: dobbiamo calcolare il resto per il valore di a opposto a quello in cui compare nel binomio divisore
Applicazione del teorema di Ruffini
Stabiliamo se il polinomio P(x) = 2x3 – x2 + 3x – 4 è divisibile per:
- x – 1
- x + 2
1)Siccome x – 1 è un binomio del tipo x – a, con a = 1, dobbiamo controllare se P(1) = 0. Abbiamo:
P(1) = 2 · 13 – 12 + 3 · 1 – 4 = 0
quindi P(x) è divisibile per x – 1.
2) Per controllare la divisibilità per x + 2, dobbiamo prima riscrivere x + 2 nella forma x – a. Poiché x + 2 = x – (-2), dobbiamo calcolare P(-2).
P(-2) = 2 · (-2)3 – (-2)2 + 3 · (-2) – 4 = – 16 – 4 – 6 – 4 = -30
Poiché P(-2) ≠ 0, concludiamo che P(x) non è divisibile per x + 2.
Nel pdf allegato troverete la “lezione” in formato stampabile e molti esercizi, anche sulla regola di Ruffini per eseguire la divisione tra polinomi.
TEOREMA DEL RESTO