Con i numeri relativi è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni e le sottrazioni. Questo significa che se si addizionano, si sottraggono o si moltiplicano due numeri relativi il risultato si trova sempre nella retta dei numeri relativi.
Per la divisione invece non sempre essa è possibile, come vedremo la prossima volta…
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE con i numeri relativi : L’Addizione
Osserviamo prima di tutto che il simbolo di addizione + è lo stesso che si usa per indicare il segno dei numeri positivi, pertanto occorre prestare attenzione quando si incontra il segno + al significato che esso ha. Almeno all’inizio è bene usare una scrittura del tipo
(+2) + (+5)
per indicare la somma tra i numeri positivi +2 e +5.
L’addizione di due numeri relativi si esegue in due modi diversi a seconda che gli addendi siano concordi o discordi.
⇒ NUMERI CONCORDI :
La somma di due numeri concordi è un numero che ha:
- per valore assoluto la somma fra i valori assoluti dei due numeri;
- per segno lo stesso dei due numeri
Esempi
- (+3) + (+5) =
i due numeri da sommare sono concordi, il loro segno è +, i loro valori assoluti sono 3 e 5, la loro somma è 8 pertanto (+3) + (+5) = +8
- (- 3) + (-7) =
i due numeri sono entrambi negativi, quindi sono concordi, i loro valori assoluti sono 3 e 7, la somma ha valore assoluto 10, il segno è -, pertanto (- 3) + (-7) = -10
⇒ NUMERI DISCORDI :
La somma di due numeri discordi è un numero che ha:
- per valore assoluto la differenza fra il maggiore e il minore dei valori assoluti;
- per segno quello del numero che ha valore assoluto maggiore
Esempi
- (- 7) + (+5) =
i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assoluti sono 7 e 5, la differenza è 2, il numero che ha valore assoluto maggiore è -2, pertanto il risultato ha lo stesso segno di -2, cioè è negativo, in definitiva
(-7) + (+5) = -2
- (+5) + (-2) =
i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assoluti sono 5 e 2, la loro differenza è 3, il numero che ha valore assoluto maggiore è +5, pertanto il risultato ha lo stesso segno di +5, cioè è positivo:
( + 5 ) + ( – 2 ) = + 3 .
- (+ 3) + (-7) =
i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assoluti sono 3 e 7, la loro differenza è 4, il numero che ha valore assoluto maggiore è -7, quindi il risultato ha segno negativo, in definitiva:
( + 3 ) + ( – 7 ) = – 4
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE con i numeri relativi: INTERPRETAZIONE GRAFICA DELL’ADDIZIONE
POssiamo interpretare graficamente la somma tra numeri interi muovendoci sulla retta che rappresenta Z. Partendo dal punto che rappresenta il primo ci sposteremo di tante unità quante indica il secondo numero
- verso destra se il secondo numero è positivo
- verso sinistra se il secondo numero è negativo
PROPRIETA’ DELL’ADDIZIONE
L’operazione di addizione è interna in Z, cioè il risultato appartiene ancora a Z.
Valgono le proprietà commutativa e associativa, e ZERO è l’elemento neutro.
INOLTRE : per ogni numero ne esiste un secondo (il suo opposto) tale che la loro somma è 0:
(+5) +(-5) = 0
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE con i numeri relativi : La Sottrazione
La differenza di due numeri interi è la somma del minuendo con l’opposto del sottraendo.
IN PRATICA : La sottrazione tra due numeri relativi si esegue SOMMANDO al primo numero L’ OPPOSTO del secondo.
Esempi
- (+1) – (+3) = (+1) + (– 3) = -2
- (- 2 ) – (– 5 ) = (- 2 ) + (+5 ) = +3
- (+3 ) – (–5 ) = (+3 ) + (+5 ) = + 8
- (-3 ) – (+3) = (-3 ) + (–3 ) = -6
Poiché la sottrazione può essere trasformata in addizione, si può semplificare la scrittura di addizione e sottrazione di numeri relativi, utilizzando soltanto l’operazione di addizione e omettendo di scrivere il segno + dell’addizione.
Questo tipo di addizione tra numeri relativi si chiama somma algebrica.
Esempi
- (+1) + (-2) : se omettiamo il segno di addizione + e le parentesi otteniamo 1-2
- (+1) – (+3) : Trasformiamo la sottrazione in addizione, sostituendo a +) il suo opposto. Otteniamo quindi (+1) + (-3). Possiamo però omettere il segno di addizione + ed eliminare le parentesi. Abbiamo così : 1-3 = -2 .
- (-1) + (+5) + (-3) + (-7) diventa, scritta in modo sintetico:
– 1 + 5 – 3 – 7 = -6
Per la sottrazione fra interi vale ancora la proprietà invariantiva.
Osserviamo inoltre che l’operazione di sottrazione è interna in Z, cioè il risultato è ancora un elemento di Z.
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE con i numeri relativi: esercizi
Di seguito trovate alcuni esercizi su somme e differenze. Sono molto semplici, adatti quindi a tutti
ESERCIZIO 1
Esegui le seguenti addizioni di numeri relativi
- (+3)+(+2) =
- (-5)+(-5) =
- (-3)+(+5) =
- (+12)+(+2) =
- (-2)+(-3) =
- (-3)+(+13) =
- (+10)+(-5) =
- (+1)+(+1) =
- (-10)+0 =
- (-4)+(+4) =
- (+7)+(-6) =
- (-9)+(-3) =
- (-101)+(+2) =
- 0+(-9) =
- (-10)+(+10) =
ESERCIZIO 2
Esegui le seguenti sottrazioni di numeri relativi
- (-1)-(+2) =
- (-5)-(+3) =
- (-2)-(+5) =
- (+12)-(+2) =
- (+1)-(-3) =
- (-3)-(+1) =
- (+11)-(-5) =
- (+21)-(+11) =
- (-1)-0 =
- (-3)-(+4) =
- (+7)-(-2) =
- (-3)-(-3) =
- 0-(-11) =
- (-6)-(-6) =
- (+5)-(-5) =
ESERCIZIO 3
Per ognuno dei seguenti numeri relativi scrivi il numero opposto
- +3 → …
- -2 → …
- +1 → …
- -11 → …
- -3 → …
- +5 → …
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE con i numeri relativi: SOMME ALGEBRICHE
ESERCIZIO 4
Esegui le seguenti somme algebriche
- -5 -2 =
- +3 -4 =
- -1 +2 =
- -3 +4 =
- -6 +7 =
- -1 -9 =
- +8 -7 =
- +2 -1 =
- -6 +2 =
- +5 -2 =
- +4 -3 =
- +4 +1 =
- +4 -6 =
- -10 +5 =
- -16 -4 =
- -3 -9 =
- +14 -7 =
- -10 -10 =
- +7-6 -1 =
- -7-6 -13 =
- -7+6 +1=
- 0-2 +2 =
- -5+0 +5 =
- +8-11 +3 =
- -10-10+10 =
- -5+10-15=
- +1-2+3 =
ESERCIZIO 5
Esegui le seguenti somme algebriche
- +3 -1 = +…
- +2 -3 = -…
- -5 +2 = -…
- -2 +2 = … …
- -5 -2 = … 7
- -3 +5 = …2
- +8 -0 = … …
- -9 +0 = … …
- 0 -5 = … …
- +1 -1 = … …
- -2 -2 = … …
- +9 -3 = … 6
- +7 -6 = +…
- -101 +9 = -…
- -10 +5 = … 5