Siccome stiamo iniziando ad occuparci di Geometria, voglio innanzitutto ricordarvi alcune “questioni” riguardanti la misura.
Abbiamo affrontato l’argomento più volte (ad esempio QUI oppure QUI).
Sappiamo già che
In pratica, “misurare” significa “confrontare grandezze”. Per fare questo, dobbiamo usare un’altra grandezza dello stesso tipo, scelta come unità di misura o campione.
Per poter ottenere di un oggetto sempre la stessa misura, bisogna scegliere un’unità di misura uguale per tutti: per questo è nato il Sistema Internazionale di Misura, che definisce le unità di misura convenzionali relative a ogni grandezza.
Il Sistema Internazionale di Misura si chiama anche Sistema metrico di misura decimale, poiché è costruito sulla numerazione in base 10.
Questo sistema di misura prevede le seguenti unità di misura fondamentali:
- il metro → simbolo m, per misurare distanze, lunghezze e anche altezze e larghezze;
- il litro → simbolo l, per misurare capacità cioè quanto liquido può contenere un recipiente;
- il chilogrammo → simbolo kg, per misurare pesi.
Oltre alle misure fondamentali di misura vi sono, poi, altre che ci consentono di effettuare misure 10, 100, 100 volte più grandi o 10, 100, 1000 volte più piccole dell’unità di misura fondamentale. Esse si dicono multipli e sottomultipli.
Ci siamo anche già occupati delle misure di lunghezza (vedi QUI), di peso e di capacità. Oggi ampliamo il discorso e cominciamo a parlare delle GRANDEZZE DERIVATE dal METRO.
Ricordiamo prima però la scala del metro
MISURARE LO SPAZIO : La LUNGHEZZA
L’unità fondamentale delle misure di lunghezza è IL METRO (m).
SOTTOMULTIPLI DEL METRO :
- decimetro (dm), pari alla decima parte del metro : 1 m = 10 dm;
- centimetro (cm), che è la centesima parte del metro e la decima parte del decimetro : 1 m = 100 cm, ma 1 dm = 10 cm.
- millimetro (mm) , pari alla millesima parte del metro, centesima parte del decimetro e decima parte del metro : 1 m = 1000 mm, 1 dm = 100 mm, 1 cm= 10 mm.
MULTIPLI DEL METRO
- decametro (dam) : è 10 volte più grande del metro. 1 dam = 10 m
- ettometro (hm) : 100 volte più grande del metro e 10 più del decametro. 1 hm = 100 m e 1 hm = 10 dam;
- chilometro (km), 1000 volte più grande del metro, 100 in più del decametro e 10 in dell’ettometro. 1km = 1000 m, 1 km = 100 dam, 1 km = 10 hm
Ed ora la scala metrica completa, dall’unità di misura più grande a quella più piccola. Tra parentesi le abbreviazioni usate:
- Chilometro (km)
- ettometro (hm)
- decametro (dam)
- metro (m)
- decimetro (dm)
- centimetro (cm)
- millimetro (mm).
MISURARE LO SPAZIO : IL CAMPIONE DI LUNGHEZZA
Come detto all’inizio, per misurare dobbiamo confrontare una grandezza con un campione scelto come unità di misura.
Durante la Rivoluzione francese fu costruita una barra di platino-iridio di lunghezza pari a un quarantamilionesimo di un meridiano terrestre e la si definì come campione del metro.
Tale campione è ancora conservato nell’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres (vicino Parigi) Tuttavia, siccome la materia si può modificare nel tempo, dal 1983 è stata adottata una definizione del metro che utilizza la proprietà della luce di viaggiare nel vuoto a velocità costante.
Si definisce il metro come l’intervallo di tempo che la luce impiega a percorrere una lunghezza pari a quella del campione di Sèvres secondo la definizione originaria.
L’unità di misura della lunghezza è il metro, definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo.
Tutti gli strumenti per misurare la lunghezza, dalla riga millimetrata alla fettuccia da sarto, dalla rotella metrica al calibro, fanno riferimento a questa definizione.
Tali strumenti si usano per confronto diretto con la lunghezza da misurare: si fa coincidere il loro inizio, individuato generalmente da una tacca contrassegnata con uno zero, con un’estremità della lunghezza da misurare e si legge su una scala graduata il valore più vicino all’altra estremità.
MISURARE LO SPAZIO : l’area
L’estensione di una superficie piana si può misurare direttamente attraverso il confronto con una superficie presa come unità di misura: basta contare quante volte è necessario sovrapporre l’unità alla superficie da misurare per ricoprirla completamente (ad esempio quante mattonelle servono per ricoprire tutto il pavimento di una stanza).
Tuttavia la geometria rende possibile misurare l’estensione di una superficie regolare anche in modo indiretto, attraverso più misure di lunghezza. Se una stanza è rettangolare ci basta misurare la sua larghezza e la sua profondità e applicare la formula
Area del rettangolo = larghezza × profondità
Larghezza e profondità sono due lunghezze, pertanto l’area di un rettangolo è il prodotto di due lunghezze.
Dal punto di vista fisico questo vale in generale per qualsiasi area, in quanto vale anche per un ipotetico rettangolo o quadrato usato come unità di misura.
Nel SI l’unità di misura dell’area di una superficie è il metro quadrato (m2), cioè l’area di un quadrato di lato pari a 1 m.
ll metro quadrato è quindi una GRANDEZZA DERIVATA.
I multipli e sottomultipli del metro quadrato più usati sono i quadrati dei multipli e sottomultipli del metro, facendo però attenzione al fattore di moltiplicazione.
A ogni fattore 10 in lunghezza corrisponde un fattore 100 (10²) in area.
Per esempio, un metro è formato da dieci decimetri, per cui
1 m2 = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 100 dm2
Quindi, se
1 m = 10 dm ⇒ 1 m2 = 100 dm2
RICORDA: 1 m equivale a 10 dm; 1 m2 equivale a 10 dm × 10 dm, cioè a 100 dm2.
IN PRATICA, se dobbiamo effettuare delle equivalenze con il metro quadrato:
- basta moltiplicare per 100 (10²), 10 000 (104), 1 000 000 (106),se dobbiamo passare da più grande a più piccolo
- dobbiamo DIVIDERE per 100 (102), 10 000 (104), 1 000 000 (106),se invece dobbiamo trasformare in una grandezza in una di cui è sottomultipla.
Io conto i posti nella scala del metro e poi moltiplico per 2. So così che devo spostarmi verso destra o verso sinistra del giusto numero di posti.
Ad esempio, per passare da m² a mm² calcolo i posti che ci sono nella scala del metro, pari a 3. So quindi che devo moltiplicare i m² per 1 000 x 1 000 = 106
Esempio
-
Quanti centimetri quadrati ci sono in 1.254 metri quadrati?
SOLUZIONE
1 m = 100 cm ⇒ 1 m2 = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm2
1,254 m2 = 1.254 × 10 000 cm2 = 12 540 cm2
Quindi 1.254 m2 sono equivalenti a 12 540 cm2.
2. A quanti km2 sono equivalenti 650 000 m2?
In questo caso dobbiamo passare da “piccolo” a “grande” e quindi dobbiamo DIVIDERE per il giusto fattore di conversione. Siccome da metri a km dobbiamo dividere per 1000, per passare da m2 a km2 dobbiamo dividere per
1000 x 1 000 = 106
Dobbiamo cioè spostarci di sei posti verso sinistra. Otteniamo perciò:
650 000 m2= 0, 650 000 km2
NOTA: per misurare la superficie dei terreni agricoli si usano anche altre misure, dette MISURE AGRARIE. Ne parleremo meglio prossimamente. Pensate che io ho imparato le equivalenze proprio con le misure dei terreni del Nonno!
MISURARE LO SPAZIO : il volume
Per il volume si può fare un ragionamento analogo al caso della superficie, aggiungendo una terza dimensione. Infatti il volume di un solido è dato dal prodotto di tre lunghezze: altezza, larghezza e profondità.
Nel SI l’unità di misura del volume è il metro cubo (m3), cioè il volume di un cubo di lato pari a 1 m.
I multipli e sottomultipli del metro cubo sono i cubi dei multipli e sottomultipli del metro, tenendo presente che a ogni fattore 10 in lunghezza corrisponde un fattore 1000 (103) in volume.
Se un metro è formato da dieci decimetri, allora
1 m3 = 1 m × 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm × 10 dm = 1000 dm3
Quindi se
1 m = 10 dm ⇒ 1 m3 = 1000 dm3
RICORDA : 1 m equivale a 10 dm; 1 m3 equivale a 10 dm × 10 dm × 10 dm, cioè a 1000 dm2
Diciamo quindi che
- per trasformare una misura di volume da un’unità ad un’altra di cui è MULTIPLA (cioè per andare da grande a piccolo), basta MOLTIPLICARE per 1000 (10³), 1 000 000 (106), 1 000 000 000(109)
- per trasformare una misura di volume da un’unità ad un’altra di cui è SOTTOMULTIPLA (cioè per andare da PICCOLO a GRANDE), basta DIVIDERE per 1000 (10³), 1 000 000 (106), 1 000 000 000(109)
Esempio
- A quanti chilometri cubi è equivalente un metro cubo?
SOLUZIONE
1 m = 0,001 km
1 m3 = 0,001 m × 0,001 m × 0,001 m = 0,000 000 001 km3
Un metro cubo è un miliardesimo di chilometro cubo; cioè in un chilometro cubo ci sono un miliardo di metri cubi.
- A quanti metri cubi è equivalente un decimetro cubo?
1 m = 10 dm ⇒ 1 m3 = 1 000 dm3
MISURARE LO SPAZIO : volume in litri
Spesso per scopi pratici i volumi si esprimono in litri (L).
- Un litro è equivalente a un volume pari a 1 dm3
- 1 m3 è equivalente a 1000 L
Il simbolo del litro, in assenza di prefissi, si scrive in maiuscolo, contrariamente alla regola che stabilisce che il simbolo va scritto in minuscolo eccetto nei casi in cui deriva da un nome proprio, perché altrimenti potrebbe creare confusione con la cifra 1.
MISURARE LO SPAZIO : esercizi
Nel pdf allegato trovate qualche esercizio da svolgere!
Tranquilli : come al solito vi sommergerò di molti altri esercizi!