Dopo aver visto come si eseguono somme e sottrazioni nell’insieme dei numeri interi (relativi), oggi ci occupiamo di moltiplicazioni e divisioni, per passare infine a svolgere un po’ di esercizi!
E poi ci occuperemo dei successivi ampliamenti dei numeri, per arrivare ai RADICALI!
MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE IN Z : LA MOLTIPLICAZIONE tra numeri interi
Ricordiamo innanzitutto che, nella moltiplicazione, si chiamano fattori i numeri che moltiplichiamo e prodotto il risultato dell’operazione:
Il prodotto di due numeri interi relativi è un intero che ha:
- come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;
- per segno avrà il segno positivo se i fattori sono concordi, il segno negativo se i fattori sono discordi.
Esempi
- (+3)∘ (-2) = -6 : il numero 6 si ottiene da 3∘ 2. Siccome i due fattori sono DISCORDI, il segno è NEGATIVO.
- (-3)∘ (-2) = + 6 : il numero 6 si ottiene da 3∘ 2. Siccome i due fattori sono CONCORDI , il segno è POSITIVO.
SINTETICAMENTE: la regola dei segni
- (+)∘ (+) = +
- (-)∘ (-) = +
- (+)∘ (-) = –
- (-)∘ (+) = –
RICORDA: il segno del prodotto di due interi DIPENDE dal NUMERO DI FATTORI NEGATIVI:
- se il numero dei fattori negativi è PARI, il segno sarà POSITIVO
- se invece il numero dei fattori negativi è DISPARI, il segno sarà NEGATIVO
Esempi
- (+3)∘ (-2) ∘ (-5) = + 30 : Siccome ho DUE fattori negativi, il prodotto è POSITIVO
- (-3)∘ (-2) ∘ (-5) = -30 : il fattori negativi sono TRE, per cui il prodotto è NEGATIVO
PROPRIETA’ DELLA MOLTIPLICAZIONE:
Come accennato, la moltiplicazione è un’operazione interna in Z, cioè il risultato dell’operazione appartiene ancora a Z.
Inoltre valgono tutte le proprietà valide anche nell’insieme dei naturali: commutativa, associativa, distributiva rispetto all’addizione, esistenza dell’elemento neutro (+1).
MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE IN Z: la divisione
Il quoziente di due numeri interi, quando il primo è multiplo del secondo e il secondo è diverso da 0, è un intero che ha:
- per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti dei due numeri;
- per segno quello dato dalle regole di segno della moltiplicazione
Mentre addizione, sottrazione e moltiplicazione sono operazioni sempre possibili tra numeri interi relativi, ossia il risultato di queste operazioni è sempre un numero intero relativo, il risultato della divisione non sempre è un numero intero relativo.
La divisione tra numeri relativi è possibile se è possibile la divisione tra i loro valori assoluti, ossia se il divisore è diverso da zero ed è un sottomultiplo del dividendo.
Esempi
- (+8) : (+2) = +4 il risultato è 4 perché 8:2=4, il segno è + perché sono concordi.
- (+15) : (-3) = – 5 il risultato è 5 perché 15:3=5, il segno è – perché sono discordi.
- (-12) : (-6) = + 2 il risultato è 2 poiché 12:6=2, il segno è + perché sono concordi.
RICORDA: Nella divisione valgono la proprietà invariantiva e la distributiva a destra rispetto all’addizione (algebrica).
Proprietà invariantiva della divisione:
- (a:b) = (a:c) : (b:c)
- (a:b) = (a∘c): (b∘ c)
Proprietà distributiva (a destra) :
- (a+b) : c = (a:c) + (b:c)
- (a-b) : c = (a:c) – (b:c)
Inoltre :
- a : 1= a
- a :a= 1, con a ≠ 0
- 0 : a= 0, con a ≠ 0
- a : 0 è impossibile, con a ≠ 0
- 0 : 0 è indeterminata.
MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE IN Z : ESERCIZI
ESERCIZIO 1
Esegui le seguenti moltiplicazioni
- (+3)(+1) =
- (+1)(-2) =
- (+3)(-3) =
- (-5)(-1) =
- (+3)(-3) =
- (-2)(+5) =
- (-1)(-7) =
- (+3)(+11) =
- (+1)(-10) =
- (-4)(+3) =
- (+5)(-6) (-1) =
- (-3)(-2) (+1) =
- (-1) (+1) (-1) =
- (+10) (-1) (-10) =
- (-10) (-10) (-1) =
ESERCIZIO 2
Esegui le seguenti divisioni
- (+4):(+2) =
- (+5):(-1) =
- (+6):(+2) =
- (+8):(-2) =
- (-8):(+4) =
- (-4):(+2) =
- (-10):(+5) =
- (+10):(-2) =
- (-12):(+6) =
- (-12):(+4) =
- (+12):(-3) =
- (-12):(+1) =