Come vi ho raccontato ieri, il grande Archimede riuscì a determinare con buona approssimazione quello che oggi noi chiamiamo PI GRECO. Oggi vi spiego come ha fatto.
CALCOLO DEL PI GRECO: l’algoritmo di Archimede
Nel trattato Sulla misurazione del cerchio, Archimede dimostrò il teorema secondo cui l’area di un cerchio è equivalente a quella di un triangolo rettangolo che ha per cateti il segmento rettificante la circonferenza e il raggio del cerchio stesso.
In termini “moderni”, questo equivale a dire che l’area del cerchio è uguale a πr2
RICORDATE? il simbolo π fu introdotto solo nel 1706 dal matematico gallese William Jones e reso poi di uso comune da Leonhard Euler.
Nello stesso trattato, Archimede illustra un metodo, oggi noto come ALGORITMO ARCHIMEDEO, per calcolare il valore di π con una qualsivoglia approssimazione.
Il metodo fa uso di poligoni regolari, inscritti e circoscritti ad una circonferenza, per approssimare, rispettivamente per difetto e per eccesso, la lunghezza di quest’ultima e giungere così a determinare un limite inferiore e uno superiore al valore di π.
Naturalmente, quanto maggiore è il numero dei lati dei poligoni utilizzati, tanto migliore è la stima che si ottiene (la circonferenza può infatti essere pensata come un poligono di infiniti lati).
Archimede sviluppa quindi una procedura numerica che fornisce il perimetro del poligono di 2n lati, una volta noto il perimetro del poligono di n lati.
Partendo dall’esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r e da quello ad essa circoscritto, i cui perimetri sono rispettivamente 6r e 4√3 r (che divisi per il diametro, 2r, della circonferenza, forniscono un valore di π compreso tra 3 e 2√3 ≈ 3,464) e ripetendo la procedura, egli calcola i perimetri dei poligoni regolari, inscritti e circoscritti, di 12, 24, 48 e 96 lati, giungendo così a determinare un valore di π compreso tra 3+ 10/71 (≈ 3,141) e 3+ 1/7 (≈3,143).
CALCOLO DEL PI GRECO : una spiegazione più semplice
Per determinare il Pi greco, in pratica, Archimede è partito da una circonferenza (che intendeva misurare, ma la cui misura doveva dipendere dal diametro, ovvero il doppio del raggio) e ha studiato quali poligoni potessero contenerla e quali potessero invece essere collocati al suo interno.
Naturalmente, disporre della lunghezza di un poligono esterno e uno interno a una circonferenza può essere molto utile per fissare i limiti fra i quali può variare la lunghezza della circonferenza.
Per ottenere un buon livello di precisione, bisogna aumentare il numero di lati dei poligoni, in modo che “approssimino” sempre meglio la circonferenza.
Supponiamo che il raggio CP sia pari a 15 cm.
La circonferenza misura :
C = 2π r = 2×3,1415×15 ≅94 cm.
Se il raggio è 15, il diametro è 30 e tre volte il diametro fa 90 cm: 94 cm è giusto un po’ più grande di 90, quindi il cerchio ha una circonferenza un po’ più grande di tre volte il suo diametro.
Come si determina l’area del cerchio?
Archimede considerò che una circonferenza potesse essere composta da tanti anelli (come il bersaglio del tiro con l’arco) e che questi anelli potessero essere separati e “srotolati”.
Così facendo egli scoprì che l’area del cerchio corrisponde all’area di un triangolo che ha per base la lunghezza della circonferenza e per altezza il raggio.
Dato che l’area di un triangolo è (base × altezza): 2
allora l’area del cerchio sarà
(lunghezza della circonferenza × raggio) : 2
ovvero (2πr×r) :2
cioè :
A = πr²
Se quindi il raggio è 15 cm, l’area sarà
A = 707 cm²
Per completezza, vi posto anche l’equazione di una circonferenza con centro di coordinate α e β e raggio “r”.
Tale equazione è stata applicata a un cerchio con centro C (3;4) e raggio pari a 2.
Da qui ripartiremo con la geometria cartesiana