Nei prossimi giorni lasceremo un po’ da parte la matematica e torneremo ad occuparci di argomenti molto più divertenti. Infatti i miei giovani allievi si sono sentiti un pochino abbandonati! Oggi voglio raccontarvi uno dei miei “eroi”, forse il più grande genio dell’antichità!
Forse lo conoscete per la “SPINTA DI ARCHIMEDE” o per aver dato una parte del nome ad uno dei personaggi Disney che preferisco, l’inventore Archimede Pitagorico… Vi racconto chi è stato Archimede
ARCHIMEDE UN GRANDE GENIO: lo straordinario ingegnere
Matematico, fisico e astronomo, Archimede è, senza dubbio, il massimo scienziato di tutta l’antichità. Per lungo tempo il suo nome resta legato all’invenzione di macchine belliche (dalla manus ferrea, sorta di gru
utilizzata per ribaltare le navi nemiche, agli specchi ustori), utilizzate dai Siracusani per resistere agli attacchi dei Romani, e di congegni meccanici per uso civile, tra cui un dispositivo per il sollevamento
dell’acqua, detto coclea e oggi più noto come vite di Archimede.
Nato a Siracusa attorno al 287 a.C., sappiamo poco della sua giovinezza. Di certo c’è che trascorse un periodo di tempo in Egitto, dal momento che conosceva bene la matematica greca ed ebbe contatti con molti matematici attivi ad Alessandria d’Egitto. Si pensa che tra i suoi maestri furono alcuni allievi di Euclide (di cui vi racconterò presto).
Vi ricordo che Alessandria fu la prima città al mondo in cui si realizzò l’idea di comunità scientifica. La sua famosa Biblioteca, con il suo altrettanto famoso Museo, è un vero e proprio centro di ricerca avanzata, che accoglie scienziati che vengono da ogni parte dell’ex impero di Alessandro Magno.
A Siracusa morì, settantacinquenne, per mano di un soldato romano durante il sacco della città nel 212 a.C.
Tra i suoi contributi, ricordiamo che fu Archimede a dare all’umanità la più esatta approssimazione alla quadratura del cerchio, già tentata dai Pitagorici e da Anassagora, e a fornire, col primo esempio di quadratura esatta ed assoluta di una curva, la quadratura della parabola.
Con Archimede i principi fondamentali della Statica, dell’Idrostatica e della Meccanica non hanno più segreti. Egli scoprì pure le proprietà della spirale, i rapporti della sfera con il cilindro, la vite a chiocciola e, scoperta sensazionale, — anche se non avallata dagli studiosi — gli specchi ustori.
Grazie al suo genio, contribuì a fare avanzare la conoscenza in tantissimi settori, dalla geometria all’idrostatica, dall’ottica alla meccanica.
Oltre a calcolare la superficie e il volume della sfera, intuì le leggi che regolano il galleggiamento dei corpi; in campo ingegneristico, scoprì e sfruttò i principi di funzionamento delle leve e il suo stesso nome è associato a numerose macchine e dispositivi, come la vite di Archimede, a dimostrazione della sua capacità inventiva; circondate ancora da un alone di mistero sono invece le macchine da guerra che Archimede avrebbe preparato per difendere Siracusa dall’assedio romano.
La sua vita è ricordata attraverso numerosi aneddoti, talvolta di origine incerta, che hanno contribuito a costruire la figura dello scienziato nell’immaginario collettivo.
Ancora oggi, ci capita spesso di esclamare “èureka!” (εὕρηκα! – ho trovato!), frase a lui attribuita dopo la scoperta del principio sul galleggiamento dei corpi che ancora oggi porta il suo nome.
Tra i suoi contemporanei divenne famoso per le sue capacità ingegneristiche: sembra che fosse molto giovane quando inventò la “vite di Archimede”, un dispositivo che permette di sollevare con poca fatica fluidi e materiali granulari.
Efficaci le sue “macchine da guerra”, costruite per Gerone, il tiranno di Siracusa. Ma per Archimede queste macchine non erano troppo importanti: rappresentavano soprattutto delle applicazioni pratiche delle sue ricerche teoriche! Come ci racconta Plutarco,
Persuaso che l’attività di uno che costruisce delle macchine, come di qualsiasi altra arte che si rivolge a un’utilità immediata, è ignobile e grossolana, rivolse le sue cure più ambiziose soltanto a studi la cui bellezza ed astrazione non sono contaminate da esigenze di ordine materiale.
Poche le sue opere giunte sino a noi: tutte però ci testimoniano la straordinarietà dei suoi studi. Ne parleremo tra poco.
ARCHIMEDE UN GRANDE GENIO : metodo rivoluzionario
A stupire sono ancora oggi i metodi che Archimede utilizzò per ricavare le aree e i volumi di figure curve. Come vi racconterò meglio in un prossimo futuro, per trovare l’area del cerchio considerò poligoni inscritti, con cui cercò di riempire il cerchio (METODO DI ESAUSTIONE, l’equivalente greco del calcolo integrale).
Fu “riscoperto” circa duemila anni dopo da Newton ed altri matematici, che diedero poi inizio al calcolo infinitesimale, fornendo uno dei più importanti strumenti matematici per lo sviluppo della scienza moderna.
Di seguito troverete spiegate nel dettaglio alcune delle scoperte di Archimede.
ARCHIMEDE UN GRANDE GENIO : padre della fisica matematica
Archimede è considerato il padre della fisica matematica. Due i trattati di argomento fisico: Sull’equilibrio dei piani e Sui corpi galleggianti.
Nel primo egli affronta la teoria della leva, il cui principio fondamentale, secondo il quale due corpi sono in equilibrio se i loro pesi stanno in proporzione inversa alle rispettive distanze dal fulcro, era noto da tempo.
Nel trattato Sui corpi galleggianti, in due libri, Archimede formula il principio idrostatico, che ancora oggi porta il suo nome, secondo cui un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto uguale al peso del volume di fluido spostato.
Proprio ai suoi studi di idrostatica è legato il celeberrimo aneddoto riportato da Vitruvio nel De architectura. Gerone (308-216 a.C. ca.), tiranno di Siracusa, aveva commissionato una corona d’oro a un artigiano, fornendogli la quantità di metallo necessaria per realizzarlo.
Sospettando però che l’orafo, nell’eseguire il lavoro, avesse trattenuto parte dell’oro rimpiazzandola con dell’argento, chiese ad Archimede di trovare un modo di verificare l’onestà dell’orafo.
Secondo la tradizione, Archimede trovò la soluzione del problema mentre si immergeva in una vasca da bagno, notando come da questa traboccasse una quantità d’acqua equivalente al volume del proprio corpo. In preda alla gioia, si sarebbe allora precipitato verso casa, ancora nudo, gridando: “Eureka! Eureka!”, “Ho trovato! ho trovato!”.
ARCHIMEDE UN GRANDE GENIO anche nella matematica
Come avrete capito dai cenni fatti sopra, notevoli furono i contributi di Archimede anche alla Matematica. Nell’Arenario, per esempio, dopo aver stabilito, sulla base di considerazioni astronomiche, un limite superiore alle dimensioni dell’universo, egli calcola il numero di granelli di sabbia che occorrerebbero per riempirlo completamente. Lo scopo del trattato è quello di illustrare un sistema di numerazione esponenziale, da lui elaborato, potenzialmente in grado di esprimere qualunque numero.
Nel trattato Sulla misurazione del cerchio, ci fornisce la dimostrazione del teorema secondo cui l’area di un cerchio è equivalente a quella di un triangolo rettangolo che ha per cateti il segmento rettificante la circonferenza e il raggio del cerchio stesso.
Questo equivale a dire che l’area del cerchio è uguale a πr2
NOTA : Il simbolo π sarà introdotto solo nel 1706 dal matematico gallese William Jones e reso poi di uso comune da Leonhard Euler.
Nello stesso trattato viene illustrato l’ALGORITMO ARCHIMEDEO per calcolare il valore di π con una qualsivoglia approssimazione.
Il metodo fa uso di poligoni regolari, inscritti e circoscritti ad una circonferenza, per approssimare, rispettivamente per difetto e per eccesso, la lunghezza di quest’ultima e giungere così a determinare un limite inferiore e uno superiore al valore di π.
Naturalmente, quanto maggiore è il numero dei lati dei poligoni utilizzati, tanto migliore è la stima che si ottiene. Ne riparleremo presto.
LA SPIRALE DI ARCHIMEDE
Nel trattato Sulle spirali Archimede definisce cinematicamente la spirale di Archimede, come il luogo piano di un punto che si muove uniformemente su di una semiretta partendo dal suo estremo, mentre, incentrata su questo, essa ruota con velocità angolare uniforme. Riuscì così a calcolare l’area del primo giro della spirale, con un metodo che anticipa l’integrazione di Riemann (1826-1866), e a determinare, per qualsiasi punto della curva, la direzione della tangente.
ARCHIMEDE UN GRANDE GENIO E LE CONICHE
Nel trattato Sulla quadratura della parabola, servendosi del metodo di esaustione, dimostra che l’area di un segmento parabolico è uguale ai 4/3 del triangolo che ha per base e per altezza rispettivamente la base e l’altezza del segmento parabolico. Oggi questo teorema è noto come TEOREMA DI ARCHIMEDE
Riuscì inoltre a determinare l’area dell’ellisse, dimostrando, nel trattato Sui conoidi e gli sferoidi, che essa vale πab, dove a e b sono il semiasse maggiore e il semiasse minore dell’ellisse.
Nella stessa opera si trovano inoltre le formule per il calcolo dei volumi dei segmenti dell’ellissoide, del paraboloide e dell’iperboloide (a due falde) di rivoluzione, delle quali Archimede fornisce dimostrazioni incredibilmente simili a quelle moderne.
Il trattato Sulla sfera e sul cilindro contiene numerosi e importantissimi teoremi relativi a questi due solidi. Tra essi, il teorema secondo cui il volume di una qualsiasi sfera è uguale a quattro volte quello del cono che ha la base uguale al cerchio massimo della sfera e l’altezza uguale al raggio della stessa, e quello relativo alla superficie delle calotte sferiche.
Ma il trattato contiene anche il teorema di cui Archimede andava più fiero, tanto che fece incidere sulla propria tomba una sfera inscritta in un cilindro circolare retto di altezza uguale al diametro della sfera: il rapporto tra i volumi dei due solidi sta nello stesso rapporto, ovvero 3/2, delle rispettive aree.
I SOLIDI ARCHIMEDEI
Molte delle opere di Archimede sono purtroppo andate perdute. Pappo di Alessandria, matematico attivo attorno al 320, gli attribuisce la scoperta dei 13 solidi semi-regolari, detti anche solidi archimedei.
Sono poliedri convessi le cui facce sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari.
I matematici arabi gli attribuivano anche quella che noi oggi chiamiamo formula di Erone, per il calcolo dell’area di un triangolo qualunque, note le lunghezze dei suoi lati:
dove A è l’area del triangolo, a, b e c sono i suoi lati e p il perimetro.
Sempre ad Archimede, i matematici arabi attribuiscono anche il teorema della corda spezzata.
Secondo questo teorema:
se i segmenti AB e BC costituiscono una corda spezzata (sono cioè due corde consecutive di una circonferenza), M è il punto medio dell’arco AC, e H il piede della proiezione ortogonale di M sulla corda (maggiore), allora H è il punto medio della corda spezzata. In formule:
AB + BH = HC.
Dal teorema si possono ricavare varie identità relative alle relazioni tra archi e corde. Forse Archimede se ne servì come equivalente della moderna formula di sottrazione del seno:
sen (a – β) = sen a cos β – sen β cos a.