Abbiamo imparato a calcolare il M.C.D. ed il m.c.m tra due o più numeri con il metodo della scomposizione in fattori primi. Esiste però un altro metodo, detto delle DIVISIONI SUCCESSIVE, attribuito al grande matematico greco EUCLIDE.
METODO DI EUCLIDE O DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE : CURIOSITA’
Il metodo attribuito ad Euclide è uno dei procedimenti di calcolo più antichi conosciuti.
Esso è presente negli Elementi di Euclide intorno al 300 a.C., ma probabilmente era conosciuto anche 200 anni prima.
Certamente lo utilizzava già Eudosso di Cnido intorno al 375 a.C.
Persino Aristotele (intorno al 330 a.C.) ne fa cenno ne I topici, 158b, 29-35.
Vediamo come utilizzarlo per calcolare m.c.m. e M.C.D.
METODO DI EUCLIDE per il calcolo del M.C.D.
La regola dice che:
Per calcolare il M.C.D. tra due numeri a e b, M.C.D. (a,b), con a > b, dobbiamo dividere il maggiore a per il minore (b):
- se il resto della divisione è zero, b è il M.C.D. dei due numeri
- se il resto è DIVERSO da ZERO, dividiamo il divisore per tale resto e continuiamo fino ad ottenere resto zero. Il divisore dell’ultima divisione è il M.C.D. (a,b)
ESEMPIO 1
Calcoliamo il MCD tra 25 e 75
Dividiamo il maggiore per il minore:
75 : 25 = 3 con resto = 0
Quindi risulta
M.C.D. (25,75) = 25
ESEMPIO 2
Supponiamo ora di voler calcolare il MCD tra 65 e 25
ESEMPIO 3 :
Calcoliamo il MCD tra 28 e 70
Risulta perciò
M.C.D. (28,70) = 14
ESEMPIO 4
Un ultimo esempio. Vogliamo calcolare il MCD tra 35 e 100
In conclusione risulta
M.C.D. (35,100) = 5
METODO DI EUCLIDE : calcolo del M.C.D. con più di due numeri
Come usare questo semplice algoritmo nel caso i numeri siano più di due?
Calcoliamo il MCD tra due di essi, poi il MCD tra uno dei restanti numeri e il MCD trovato prima e via di seguito fino a terminare i numeri
ESEMPIO 1
Calcoliamo MCD tra 20, 30 e 85
1)Iniziamo calcolando M.C.D. (20,30)
Risulta quindi: M.C.D. (20,30) = 10
2) Calcoliamo ora il MCD tra il numero rimasto (85) e il M.C.D. (20,30) = 10 cioè calcoliamo M.C.D. (10,85)
In definitiva : M.C.D. (20,30,85) = 5
METODO DI EUCLIDE per il calcolo del m.c.m.
Il metodo di Euclide ci permette di calcolare anche il m.c.m. tra due o più numeri. La regola dice che
Per calcolare il m.c.m. tra due numeri a e b, m.c.m.(a,b) :
- si calcola il loro M.C.D.
- si divide uno dei due numeri per tale MCD
- si moltiplica il quoziente ottenuto per l’altro numero. Il risultato di questa moltiplicazione è il m.c.m.(a,b) cercato
Vediamo con un paio di esempi
ESEMPIO 1:
calcoliamo m.c.m.(56,24)
Calcoliamo innanzitutto il loro MCD con il metodo di prima:
Dividiamo ora uno dei due numeri per questo MCD. Ad esempio
56 : 8 = 7
Moltiplichiamo questo quoziente per l’altro numero :
7 x 24 = 168
Risulta quindi :
m.c.m.(56,24) = 168
ESEMPIO 2
Proviamo a calcolare m.c.m.(75,60).
Come prima, calcoliamo innanzitutto il loro MCD con il solito algoritmo delle divisioni successive :
Dividiamo ora uno dei due numeri per questo MCD. Ad esempio
75 : 15 = 5
Moltiplichiamo questo quoziente per l’altro numero :
5 x 60 = 300
Risulta quindi :
m.c.m.(75,60) = 300
METODO DI EUCLIDE : calcolo del m.c.m. con più di due numeri
Allo stesso modo si procede se i numeri sono più di due: si calcola il m.c.m. tra i primi due, poi il m.c.m. tra il terzo e il m.c.m. dei primi due e via di seguito fino a terminare i numeri
ESEMPIO
Calcoliamo m.c.m. (40,15,27)
- Cominciamo calcolando m.c.m. (40,15)
Dividiamo ora uno dei due numeri per questo MCD. Ad esempio
40 : 5 = 8
Moltiplichiamo questo quoziente per l’altro numero :
8 x 15 = 120
Risulta quindi :
m.c.m.(40,15) = 120
- Calcoliamo ora m.c.m. (120,27)
Dividiamo ora uno dei due numeri per questo MCD. Ad esempio
120 : 3 = 40
Moltiplichiamo questo quoziente per l’altro numero :
40 x 27 = 1080
In definitiva, risulta :
m.c.m.(40,15,27) = 1080
Nel pdf allegato troverete la lezione in formato stampabile ed alcuni esercizi per allenarvi con questo metodo!
METODO DI EUCLIDE O DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE
MULTIPLI E DIVISORI esercizi vari