Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m.
So bene che ne abbiamo parlato già a lungo in precedenza ma oggi, per completezza, riprendiamo il discorso su multipli e divisori, divisibilità, massimo comune divisore e minimo comune multiplo.
Negli allegati a fondo pagina troverete molti esercizi per vari livelli, dalle elementari alle superiori, per “allenarvi” con questi concetti, che sono senza dubbio fondamentali!
Rivediamoli quindi insieme. In particolare, poi, ci dedicheremo all’uso di M.C.D. e m.c.m. per la risoluzione di problemi di vario tipo.
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m.: multipli e i divisori di un numero
Un numero naturale è MULTIPLO di un altro se la divisione del primo per il secondo dà come resto 0.
I multipli di un numero naturale n≠ 0 si ottengono moltiplicando n per i naturali.
I MULTIPLI DI UN NUMERO SONO INFINITI e tra essi ci sono sempre 0 e n stesso
Ad esempio : MULTIPLI DI 5 : M5 = 0,5,10, 15,….
Un numero naturale diverso da 0 è DIVISORE di un altro numero naturale se la divisione fra quest’ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0.
I DIVISORI DI UN NUMERO n SONO finiti e tra essi ci sono sempre 1 ed n stesso.
Ad esempio, DIVISORI DI 24 : D24 = 1,2,3,4,6,8,12,24
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m. : CRITERI DI DIVISIBILITÀ
Ogni numero naturale. tranne lo zero, è divisibile per 1 e per se stesso. Per stabilire se un numero naturale è divisibile per un numero, si possono utilizzare i criteri di divisibilità, che vedi riassunti sotto:
Ricordiamo alcune definizioni:
- Un numero naturale diverso da 1 si dice NUMERO PRIMO se ha come divisori solo 1 e se stesso
- Un numero naturale diverso da 1 si dice NUMERO COMPOSTO se ammette altri divisori oltre a se stesso e all’unità.
NOTA BENE: il numero 1 NON è né primo né composto
Due o più numeri composti che hanno come divisore comune SOLO 1 si chiamano PRIMI FRA LORO
Un numero composto si può scrivere in MODO UNICO come prodotto di fattori primi
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m.: SCOMPORRE IN FATTORI PRIMI
Per scrivere un numero composto in prodotto di fattori primi si utilizza la scomposizione di un numero in fattori primi, chiamata anche FATTORIZZAZIONE IN NUMERI PRIMI.
Ad esempio :
- 4 = 2 x 2 = 22
- 15 = 3 x 5
Vale il seguente
TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA
Ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo oppure può scriversi in un unico modo come prodotto di numeri primi
Per scomporre in fattori primi i grandi numeri, possiamo ricorrere al METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE o al METODO DEL DIAGRAMMA AD ALBERO
Vediamo in maggiore dettaglio il metodo delle divisioni successive:
In uno dei pdf allegati, troverete molti esercizi!
Come forse ricorderete, possiamo utilizzare la fattorizzazione per stabilire se un numero è divisibile per un altro.
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m.: CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ
- Due numeri sono divisibili se, nella scomposizione in fattori primi del dividendo (primo numero) compaiono tutti i fattori del divisore (secondo numero), con esponente maggiore o uguale rispetto a quello con cui compaiono nel divisore stesso.
- Il quoziente di due numeri divisibili, scomposti in fattori primi, è dato dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, aventi come esponente la DIFFERENZA tra gli esponenti di dividendo e divisore
Vediamo con un esempio come procedere. Supponiamo di voler stabilire se 1848 è divisibile per 132. Scomponiamo i due numeri in fattori primi con il metodo delle divisioni successive:
Osserviamo che i due numeri hanno in comune i divisori 2, 3, 22. Inoltre nel dividendo il 2 compare con esponente maggiore (3) rispetto a quello presente al divisore (2)
Siccome 1848 contiene tutti i fattori presenti in 132, possiamo concludere che 1848 è divisibile per 132 e il risultato della divisione è 14.
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m. : Massimo comune divisore
Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni.
Il M.C.D. di due o più numeri è il prodotto dei soli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo.
Esso si indica con la scrittura
M.C.D. (a,b)
REGOLA PER IL CALCOLO DI M.C.D.
- Scomponiamo i numeri in fattori primi.
- Prendiamo SOLO i fattori comuni con l’esponente più piccolo
- Calcoliamo il loro prodotto
ESEMPIO :
Calcoliamo il M.C.D. tra 12 e 16
Scomponiamoli in fattori primi :
- 12 = 2² x 3
- 16 = 24
L’unico divisore comune è 2, che dobbiamo prendere con l’esponente più piccolo. Scriviamo quindi
M.C.D. (12,16) = 22
RICORDA : Se il M.C.D. di due numeri è 1, significa che essi non hanno divisori comuni, tranne il numero 1. In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro. Per esempio 8 e 9 sono primi tra loro.
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m. : Il minimo comune multiplo
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
Esso si indica con la scrittura
m.c.m. (a,b)
Il m.c.m. di due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più grande.
Il m.c.m. di due numeri primi fra loro è il loro prodotto. Per esempio: m.c.m.(8, 9)= 72.ù
REGOLA PER IL CALCOLO DI m.c.m.
- Scomponiamo i numeri di cui vogliamo calcolare m.c.m. in fattori primi.
- Prendiamo i fattori comuni e NON comuni con l’esponente più grande
- Calcoliamo il loro prodotto
ESEMPIO
Vogliamo calcolare m.c.m. (36,120)
Scomponiamoli in fattori primi:
36 = 2² x 3²
120 = 12 x 10 = 2³ x 3 x 5
Prendiamo fattori comuni e non : 2,3 e 5
Dobbiamo considerare l’esponente più alto per cui prendiamo 2³ e 3²
Risulta quindi
m.c.m. (36,120) = 2³ x 3² x 5 = 360
Multipli e divisori M.C.D. e m.c.m. : esempi ed esercizi
Nei pdf allegati troverete molti esercizi ed esempi, oltre alla teoria riassunta in vari modi.
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