CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ

Arpinati_eserciziA6CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ

Costituisce una delle più importanti applicazioni della scomposizione in fattori primi. Questo criterio, infatti, ci permette di stabilire se un numero naturale è divisibile per un altro numero naturale, senza eseguire la divisione.

Ricordiamo che due numeri sono divisibili tra loro se la loro divisione ha come resto ZERO. Vediamo come procedere se non vogliamo effettuare la divisione

CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ. L’enunciato

Scomponiamo innanzitutto i due numeri in fattori primi. Un volta eseguita la scomposizione, dobbiamo osservare i fattori ottenuti.

Possiamo affermare che (CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ)

• Due numeri sono divisibili se, nella scomposizione in fattori primi del dividendo (primo numero) compaiono tutti i fattori del divisore (secondo numero), con esponente maggiore o uguale rispetto a quello con cui compaiono nel divisore stesso. 
• Il quoziente di due numeri divisibili, scomposti in fattori primi, è dato dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, aventi come esponente la DIFFERENZA tra gli esponenti di dividendo e divisore.

Come spesso accade in matematica, più difficile esprimere questo criterio a parole che applicarlo nella pratica.

CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ. Esempi

Vediamo infatti con alcuni esempi come funziona questo criterio e come ci semplifichi la vita! Ricordate che ai miei tempi non potevamo usare le calcolatrici in classe e i telefonini erano oggetti ingombranti che permettevano solo di telefonare (e spesso nemmeno quello!)

ESEMPIO 1

Supponiamo di voler stabilire se 10800 è divisibile per 144. Scomponiamo i due numeri in fattori primi.

Otteniamo:

• 10800 = 2⁴ x 3³ x 5²
• 144 = 2⁴ x 3²

Siccome nel dividendo (10800) compaiono tutti i fattori presenti nel divisore (144), con esponente maggiore o uguale a quello con cui compaiono nel divisore stesso, allora i due numeri sono divisibili e possiamo calcolare il quoziente:

10800 : 144 = 2^{4 – 4} x 3^{3 – 2} x 5²  = 2⁰ x 3¹ x 5²  =  3 x 25 = 75

ESEMPIO 2

Vediamo ora se 630 è divisibile per 35.

Come prima, scomponiamo innanzitutto i due numeri in fattori primi:

Otteniamo :

• 630 = 2 x 3² x 5 x 7
• 35 = 5 x 7

Confrontiamo le due scomposizioni. Siccome nel dividendo compaiono tutti i fattori del divisore con esponente maggiore o uguale a quello con cui compaiono nel divisore stesso, possiamo affermare che, per il criterio generale di divisibilità, i due numeri sono divisibili. Non ci resta che calcolare il quoziente:

630 :35 = (2 x 3² x 5 x 7) :  (5 x 7) = 2 x 3²  x 5^{1 – 1}  x 7 ^{1 – 1} = 2 x 3²  x 5⁰  x 7 ⁰  = 2 x 3²  = 2 x 9 = 18

Ed ora non ci resta che allenarci con questo criterio!

CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITÀ. Esercizi

ESERCIZIO 1: applicando il criterio generale di  divisibilità, stabilisci se il primo numero di ciascuna coppia è divisibile per il secondo

•  (490, 15)
• (1884, 12)
• (1040, 60)
• (4473, 63)
• (9360, 246)
• (6144, 256)
• (6950, 125)
• (13104, 702)
• 180, 27
• 780, 156
• 1800, 72
• 1260, 63

ESERCIZIO 2: calcola il quoziente delle seguenti divisioni utilizzando la scomposizione in fattori primi

• 60 ∶ 15
• 72 ∶ 24
• 56 ∶ 14
• 600 ∶ 50
• 408 ∶ 68
• 375 ∶ 15
• 504 ∶ 28
• 420 ∶ 35
• 1690 ∶ 130
• 1080 ∶ 90
• 306 ∶ 34
• 3072 ∶ 24
• 201 6 ∶ 42
• 1152 ∶ 576
• 42 00 ∶ 30
• 810 ∶ 90

ESERCIZIO 3: Applica il criterio generale di divisibilità per stabilire se i due numeri dati sono divisibili tra loro e, eventualmente, calcolane il quoziente

• 756, 63
• 7007, 539
• 41503, 539
• 3245, 65
•  3450, 75
• 2538, 54
• 8760, 350
• 2277, 93
• 2052, 108
• 4080, 240

ESERCIZIO 4 : Quali tra i seguenti numeri sono divisibili per 2?

8178    7393    6954    1778    7417    3130    9909    5976    7718    5045

ESERCIZIO 5 : Quali tra i seguenti numeri sono divisibili per 3? E quali sono divisibili contemporaneamente per 2 e per 3?

7431    818      2586    9021    8208    4171    8501    8515    3838    9113

ESERCIZIO 6. :Quali tra questi numeri sono divisibili per 4?

3636    7072    533      8009    718      6630    6738    6008    1100    4612

ESERCIZIO 7 :Quali tra questi numeri sono divisibili per 5? E quali sono divisibili contemporaneamente per 4 e per 5?

8500    2728    1935    1640    6382    6576    9815    6335    8803    9445

ESERCIZIO 8:Quali tra questi numeri sono divisibili per 11?

5577    4577    5500    3550    444      9119

Per esercitarvi, vi allego anche questo utile pdf, per ripassare quanto visto finora

divisibilitc3a0-div-e-mul

Dal sito della Zanichelli, invece, questo utile test di autovalutazione

Arpinati_eserciziA6

Vi allegherò presto tutte le soluzioni!